Question

如圖，△ABC中，AB=5，BC=11，，點P是BC邊上的一個動點，聯結AP，取AP的中點M，將線段MP繞點P順時針旋轉90°得到線段PN，聯結AN，NC.

（1）當點N恰好落在BC邊上時，求NC的長；
（2）若點N在△ABC內部（不含邊界），設BP=x，CN=y，求y關于x的函數關系式，并求出函數的定義域；
（3）若△PNC是等腰三角形，求BP的長.

Answer 1

（1）NC =6（2）（3）BP = 7或或．

試題分析：（1）根據三角函數定義求出BP，AP即可求出NC；
（2）過A作AD⊥BC于D，過M作ME⊥BC與E，過N作NF⊥BC于F，得到△MEP≌△PFN，利用三角函數定義，平行線的性質，求出ME，表示出EP，再由全等表示出NF，PF，FC，用勾股定理即可表示出NC；
（3）△PNC是等腰三角形，有三種可能：①PN=NC，②PN=PC，③PC=NC，表示出三邊，解方程即可．
試題解析：（1）如圖，當點N恰好落在BC邊上時，AP⊥BC，∵AB=5，，∴BP=3，AB=4，∵M為AP的中點，∴AM=MP=2，∴PN=MP=2，∴NC=BC-BP-PN=11-3-2=6；

（2）過A作AD⊥BC于D，過M作ME⊥BC與E，過N作NF⊥BC于F，∵AB=5，，∴BD=3，AD=4，
∵AD⊥BC，ME⊥BC，∴AD∥ME，∵M為AP的中點，BP=x，∴AM=MP，DE=EP，∴ME=AD=2，EP=，∵MP⊥NP，∴∠MPE+∠NPF=90°，∵∠MPE+∠PME=90°，∴∠PME=∠NPF，∵∠MEP=∠PFN=90°，MP=NP，∴△MEP≌△PFN，∴PF=ME=2，NF=EP=，∴FC=BC-AP-PF=，∴=NC=，

當N剛好在AC上時，如圖，此時有DC=BC-BD=11-3=8，∵AD=4，∴DC=2AD，∵AD∥NF，∴DC：AD=FC：NF，∵NF=EP=，FC=，∴FC=2NF，∴，解得：，∴定義域為：；

（3），，PC=11-，△PNC是等腰三角形，有三種可能：
①PN=NC，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴BP=7；
②PN=PC，則，∴，∴，∴∵，∴，∴BP=；
③PC=NC，則，∴，∴，∴∵，∴，BP=．