Question

【題目】定義：點M，N把線段AB分割成AM、MN，NB，若以AM、MN、NB為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點M、N是線段AB的勾股分割點．
（1）如圖①，已知M、N是線段AB的勾股分割點，AM=6，MN=8，求NB的長；

（2）如圖②，在△ABC中，點D、E在邊線段BC上，且BD=3，DE=5，EC=4，直線l∥BC，分別交AB、AD、AE、AC于點F、M、N、G．求證：點M，N是線段FG的勾股分割點

（3）在菱形ABCD中，∠ABC=β（β＜90°），點E、F分別在BC、CD上，AE、AF分別交BD于點M、N．
①如圖③，若BE= BC，DF= CD，求證：M、N是線段BD的勾股分割點．
②如圖④，若∠EAF= ∠BAD，sinβ= ，當點M、N是線段AB的勾股分割點時，求BM：MN：ND的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當NB為最長線段時，

∵M、N是線段AB的勾股分割點，AM=6，MN=8，

∴NB= =10；

當MN為最長線段時，

NB= =2 ，

綜上所述，NB的值為10或2 ；

（2）

證明：如圖2，∵BD=3，DE=5，EC=4，

∴DE2=BD2+EC2，

∵直線l∥BC，

∴，

∴可設，

∴FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，

∵DE2=BD2+EC2，

∴MN2=FM2+NG2，

∴點M，N是線段FG的勾股分割點；

（3）

解：①證明：如圖3，∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD//BE，AB=BC=CD=DA，

∴△BEM∽△DAM，

∴，

∵BE=BC，

∴BM=DM，BM=BD，

同理可得，DN=BD，

∴MN=BD﹣BM﹣DN=BD，

∵MN2=BD2，BM2+ND2=BD2+BD2=BD2，

∴MN2=BM2+ND2，

∴M、N是線段BD的勾股分割點．

②如圖4，將△AND繞點A順時針旋轉，旋轉角等于∠BAD，則AD旋轉后與AB重合，點N旋轉至點K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，連接KM，

∴∠KBM=∠KBA+∠ABM=∠ABC，

∵sinβ=，

∴sin∠KBM=，

∵∠EAF=∠BAD，

∴∠KAM=∠NAM，

∵AN=AK，AM=AM，

∴△KAM≌△NAM，

∴KM=NM，

∵點M、N是線段BD的勾股分割點，

∴△KBM是直角三角形，

∵sin∠KBM=，

∴BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．

【解析】（1）分兩種情況進行討論：NB為最長線段；MN為最長線段，分別根據勾股定理進行計算即可；（2）根據BD=3，DE=5，EC=4，可得DE2=BD2+EC2 ， 再根據直線l∥BC，可得 = ，故可設 = = =k，進而得到FM=kBD，MN=kDE，NG=kEC，再根據DE2=BD2+EC2 ， 可得MN2=FM2+NG2 ， 即點M，N是線段FG的勾股分割點；（3）①先判定△BEM∽△DAM，得出 = ，再根據BE= BC，可得出BM= DM，BM= BD，同理可得，DN= BD，進而得到MN=BD﹣BM﹣DN= BD，再根據MN2=BM2+ND2 ， 可得M、N是線段BD的勾股分割點．②將△AND繞點A順時針旋轉，旋轉角等于∠BAD，則AD旋轉后與AB重合，點N旋轉至點K的位置，DN=BK，∠ADN=∠ABK，連接KM，先判定△KAM≌△NAM，即可得出KM=NM，再根據點M、N是線段BD的勾股分割點，可得△KBM是直角三角形，再根據sin∠KBM= ，可得BM：MN：ND=13：12：5或BM：MN：ND=5：12：13．
【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和圖形的旋轉，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等．旋轉的方向、角度、旋轉中心是它的三要素即可以解答此題．