Question

某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網店經營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關信息如下表所示。

銷售量p（件）	P=50—x
銷售單價q（元/件）	當1≤x≤20時，  當21≤x≤40時，

（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？
（2）求該網店第x天獲得的利潤y關于x的函數關系式。
（3）這40天中該網店第幾天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）第10天或第25天該商品的銷售單價為35元/件（2）（3）這40天中該網店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元

解：（1）當1≤x≤20時，令，解得；；
當21≤x≤40時，令，解得；。
∴第10天或第25天該商品的銷售單價為35元/件。
（2）當1≤x≤20時，；
當21≤x≤40時，。
∴y關于x的函數關系式為。
（3）當1≤x≤20時，，
∵，∴當x=15時，y有最大值y₁，且y₁=612.5。
當21≤x≤40時，∵26250＞0，∴隨著x的增大而減小，
∴當x=21時，有最大值y₂，且。
∵y₁＜y₂，
∴這40天中該網店第21天獲得的利潤最大？最大利潤是725元。
（1）分別將q=35代入銷售單價關于x的函數關系式，求出x即可。
（2）應用利潤=銷售收入－銷售成本列式即可。
（3）應用二次函數和反比例函數的性質，分別求出最大值比較即得所求。