Question

【題目】如圖，在△ABC中，過點A作AD⊥BC，垂足為點D，以AD為半徑的⊙A分別與邊AC、AB交于點E和點F，DE∥AB，延長CA交⊙A于點G，連接BG.

(1)求證：BG是⊙A的切線；

(2)若∠ACB＝30°，AD＝3，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】分析:(1) 根據DE∥AB得出∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED,再依據AD=AE得出∠BAD=∠GAB,從而證明△GAB≌△DAB,即可得出∠ADB=∠AGB =90°,從而說明BG是⊙A的切線;

(2)證四邊形AFDE為菱形,從而得到陰影部分的面積等于扇形AFD的面積.

詳解:

（1）∵DE∥AB

∴∠BAD=∠ADE，∠GAB=∠AED

∵AD=AE

∴∠AED=∠ADE

∴∠BAD=∠GAB

在△GAB和△DAB中

∴△GAB≌△DAB

∴∠AGB =∠ADB

∵AD⊥BC

∴∠ADB=90°

∴∠AGB =90°

∴BG是⊙A的切線.

（2）連接FD

∵∠ACB=30°，∠ADC=90°

∴∠CAD=60°

∵AD=AE

∴△ADE為等邊三角形

∴DE=AE=AF

又∵DE∥AB

∴四邊形AFDE為菱形

∴AE∥FD

∴S△AFD= S△EFD

∴S陰影= S扇形AFD

∵∠FAD=60°，AD=3

∴S陰影= S扇形AFD=

點睛: 本題考查了等腰三角形的性質,平行線的性質和判定,切線的判定,三角形的面積,扇形的面積計算等知識點,主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力,綜合性比較強,有一定的難度.