Question

如圖，在△ABC中，AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線，O是AD與BE的交點，若C，D，O，E四點共圓，DE=3，則△ODE的內切圓半徑為

 

．

Answer 1

分析：根據角平分線定義和三角形的內角和定理，得∠AOB=90°+

1

2

∠C，再根據圓內接四邊形的對角互補求得∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°．根據三角形的三條角平分線交于一點，則CO平分∠ACB，則OD=OE，∠OED=∠ODE=30°，根據三角形的內切圓的半徑等于其面積2倍除以周長求解．

解答：解：作OF⊥ED于點F，
∵AD，BE分別是∠A，∠B的角平分線，
∴∠AOB=90°+

1

2

∠C，CO平分∠ACB，
又∵∠DOE=∠AOB，∠DOE+∠C=180°，
∴∠C=60°，∠DOE=∠AOB=120°，
又∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE=30°，
∴FD=

3

2

，
tan30°=

FO

DF

=

FO

3 2

，
∴FO=

3

2

，OD=OE=

3

，
∴△ODE的周長為：2

3

+3，
∴△ODE的面積為：

1

2

×3×

3

2

=

3 3

4

，
∴△ODE的內切圓半徑為

3 3 2

2 3 +3

=3-

3 3

2

．
故答案為：3-

3 3

2

．

點評：此題綜合考查了角平分線定義、三角形的內角和定理、圓內接四邊形的性質以及三角形內切圓的半徑的計算方法．