Question

【題目】在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D為平面內的一點．

（1）如圖1，當點D在邊BC上時，且∠BAD＝30°，求證：AD＝BD．

（2）如圖2，當點D在△ABC的外部，且滿足∠BDC﹣∠ADC＝45°，求證：BD＝AD．

（3）如圖3，若AB＝4，當D、E分別為AB、AC的中點，把△DAE繞A點順時針旋轉，設旋轉角為α（0＜α≤180°），直線BD與CE的交點為P，連接PA，直接寫出△PAC面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD＝AD，見解析；（3）2+2

【解析】

（1）如圖1，將△ABD沿AB折疊，得到△ABE，連接DE，由折疊的性質可得AE＝AD，BE＝BD，∠EBD＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE＝30°，可得∠DBE＝90°，∠DAE＝60°，由等腰直角三角形的性質和等邊三角形的性質可得結論；

（2）如圖2，過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接DE，由“SAS”可證△BAE≌△CAD，可得∠ACD＝∠ABE，由“ASA”可證△DOB≌△DOE，可得DB＝DE，由等腰直角三角形的性質可得結論；

（3）作PG⊥AC，交AC所在直線于點G，求出PG的最大值，即可求解．

（1）證明：如圖1，將△ABD沿AB折疊，得到△ABE，連接DE，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠ABC＝45°，

∵將△ABD沿AB折疊，得到△ABE，

∴△ABD≌△ABE，

∴AE＝AD，BE＝BD，∠EBD＝∠ABD＝45°，∠BAD＝∠BAE＝30°，

∴∠DBE＝90°，∠DAE＝60°，且AD＝AE，BE＝BD，

∴△ADE是等邊三角形，DE＝BD，

∴AD＝DE＝BD；

（2）證明：如圖2，過點A作AE⊥AD，且AE＝AD，連接DE，

∵AE⊥AD，

∴∠DAE＝∠BAC＝90°，

∴∠BAE＝∠DAC，且AD＝AE，AB＝AC，

∴△BAE≌△CAD（SAS）

∴∠ACD＝∠ABE，

∵∠ACD+∠DCB+∠ABC＝90°，

∴∠DCB+∠ABC+∠ABE＝90°，

∴∠BOC＝90°，

∵AE＝AD，AE⊥AD，

∴DE＝AD，∠ADE＝45°，

∵∠BDC﹣∠ADC＝45°，

∴∠BDC＝∠ADC+45°＝∠EDC，且DO＝DO，∠DOB＝∠DOE＝90°，

∴△DOB≌△DOE（ASA）

∴BD＝DE，

∴BD＝AD；

（3）如圖3，作PG⊥AC，交AC所在直線于點G，

∵D，E在以A為圓心，AD為半徑的圓上，

當CE所在直線與⊙A相切時，直線BD與CE的交點P到直線AC的距離最大，

此時四邊形ADPE是正方形，AD＝PD＝2，

則CE＝＝2，

∴∠ACP＝30°，

∴PC＝2+2，

∴點P到AC所在直線的距離的最大值為：PG＝1+．

∴△PAC的面積最大值為AC×PG＝2+2．