Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點D在邊AB上運動，DE平分∠CDB交邊BC于點E，EM⊥BD垂足為M，EN⊥CD垂足為N．

（1）當AD=CD時，求證：DE∥AC；
（2）探究：AD為何值時，△BME與△CNE相似？
（3）探究：AD為何值時，四邊形MEND與△BDE的面積相等？

Answer 1

分析：（1）由相似三角形的判定得出△DEB∽△ACB，從而得出角的關系，再由AD=CD，得出BD與AB的關系，即可求的結論．
（2）此題分兩種情況求解，△BME∽△CNE或△BME∽△ENC，根據相似三角形的性質即可求得；
（3）根據四邊形的面積求解方法，利用分割法求不規則四邊形的面積，作輔助線EN⊥BD即可求得．

解答：（1）證明：∵AD=CD
∴∠DAC=∠DCA
∴∠BDC=2∠DAC
∵DE是∠BDC的平分線
∴∠BDC=2∠BDE
∴∠DAC=∠BDE
∴DE∥AC；
（2）解：（I）當△BME∽△CNE時，得∠MBE=∠NCE
∴BD=DC
∵DE平分∠BDC
∴DE⊥BC，BE=EC
又∠ACB=90°
∴DE∥AC
∴

BE

BC

=

BD

AB

即BD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=5
∴AD=5
（II）當△BME∽△ENC時，得∠EBM=∠CEN
∴EN∥BD
∵EN⊥CD
∴BD⊥CD即CD是△ABC斜邊上的高
由三角形面積公式得AB•CD=AC•BC
∴CD=

24

5

∴AD=

AC2-CD2

=

18

5

綜上，當AD=5或

18

5

時，△BME與△CNE相似；
（3）解：由角平分線性質易得S_△MDE=S_△DEN=

1

2

DM•ME
∵S_{四邊形MEND}=S_△BDE
∴

1

2

BD•EM=DM•EM即DM=

1

2

BD
∴EM是BD的垂直平分線
∴BE=DE，DM=BM，
∴BD=2BM，
∴∠EDB=∠DBE
∵∠EDB=∠CDE
∴∠DBE=∠CDE
∵∠DCE=∠BCD
∴△CDE∽△CBD
∴

CD

BC

=

CE

CD

①，
∴

CD

BC

=

BE

BD

=

BE

2BM

∵BC=8，
即CD=

4BE

BM

∴cosB=

BM

BE

=

4

5

∴CD=4×

5

4

=5
由①式得CE=

CD2

BC

=

25

8

∴BE=

39

8

∴BM=BE•cosB=

4

5

×

39

8

=

39

10

∴AD=AB-2BM=10-2×

39

10

=

11

5

．

點評：此題考查了平行線的判定，還考查了相似三角形的判定與性質，解題時要注意數形結合思想的應用，要注意不規則圖形的面積的求解方法．