Question

（2013•南京）如圖，AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，AB是⊙O的弦．過點(diǎn)B作BC∥AD，交⊙O于點(diǎn)C，連接AC，過點(diǎn)C作CD∥AB，交AD于點(diǎn)D．連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，交過點(diǎn)C的直線于點(diǎn)P，且∠BCP=∠ACD．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若AB=9，BC=6．求PC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，由CE為直徑得∠E+∠BCE=90°，由AB∥DC得∠ACD=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD，所以∠E=∠BCP，于是∠BCP+∠BCE=90°，然后根據(jù)切線的判斷得到結(jié)論；
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OA⊥AD，而BC∥AD，則AM⊥BC，根據(jù)垂徑定理有BM=CM=

1

2

BC=3，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)有AC=AB=9，在Rt△AMC中根據(jù)勾股定理計(jì)算出AM=6

2

；
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6

2

-r，在Rt△OCM中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出r=

27 2

8

，則CE=2r=

27 2

4

，OM=6

2

-

27 2

8

=

21 2

8

，利用中位線性質(zhì)得BE=2OM=

21 2

4

，然后判斷Rt△PCM∽R(shí)t△CEB，根據(jù)相似比可計(jì)算出PC．

解答：解：（1）PC與圓O相切，理由為：
過C點(diǎn)作直徑CE，連接EB，如圖，
∵CE為直徑，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥DC，
∴∠ACD=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCP=∠ACD．
∴∠E=∠BCP，
∴∠BCP+∠BCE=90°，即∠PCE=90°，
∴CE⊥PC，
∴PC與圓O相切；

（2）∵AD是⊙O的切線，切點(diǎn)為A，
∴OA⊥AD，
∵BC∥AD，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=

1

2

BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM=

AC2-CM2

=6

2

，
設(shè)⊙O的半徑為r，則OC=r，OM=AM-r=6

2

-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6

2

-r）²=r²，解得r=

27 2

8

，
∴CE=2r=

27 2

4

，OM=6

2

-

27 2

8

=

21 2

8

，
∴BE=2OM=

21 2

4

，
∵∠E=∠MCP，
∴Rt△PCM∽R(shí)t△CEB，
∴

PC

CE

=

CM

EB

，
即

PC

27 2 4

=

3

21 2 4

，
∴PC=

27

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．也考查了勾股定理、圓周角定理的推論、三角形相似的判定與性質(zhì)．