Question

【題目】內接于⊙，是直徑，，點在⊙上.

(1)如圖，若弦交直徑于點，連接，線段是點到的垂線.

①問的度數和點的位置有關嗎？請說明理由.

②若的面積是的面積的倍，求的正弦值.

(2)若⊙的半徑長為，求的長度.

Answer 1

【答案】（1）沒有關系，∠CDF=∠CAB=60°；（2）；（3）或

【解析】

（1）①根據同弧所對的圓周角解答即可；②利用銳角三角函數的定義求出AC與BC、DF與CF的關系，利用三角形的面積公式得出，然后根據正弦的定義可求出的正弦值；

（2）分兩種情況求解：①當D點在直徑AB下方的圓弧上時；當D點在直徑AB上方的圓弧上時.

解：（1）①沒有關系，理由如下：

當D在直徑AB的上方時，如下圖，

∵AB為直徑，∴∠ACB=90°；

∵∠ABC=30°，∴∠CAB=60°；

∴∠CDF=∠CAB=60°；

當D在直徑AB的下方時，如下圖

∵∠CAB=60°，

∴∠CDB=180°-∠CAB=120°,

∴∠CDF=60°.

②∵CF⊥BD，AB為直徑；∴ ∠ACB=∠CFD=90°；

由①得，∠CDF=∠CAB=60°，

∴ ；；

∵；；

∴；∴

（2）∵半徑為2，，

∴弧CD所對圓心角

①當D點在直徑AB下方的圓弧上時；

如圖，連結OD，過D作DE⊥AB于E；

由（1）知，，∴；

∴；

OD=2，∴，，；

∴；

②當D點在直徑AB上方的圓弧上時，

如圖，連結OD，過D作DF⊥AB于F；

此時；

∴，，；

∴；

綜上所述：BD的長為或.