Question

已知：關于x的一元二次方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個整數根，m<5且m為整數。
（1）求m的值；
（2）當此方程有兩個非零的整數根時，將關于x的二次函數y=x²-2（m+1）x+m²的圖象沿x軸向左平移4個單位長度，求平移后的二次函數圖象的解析式；
（3）當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，求b的值。

Answer 1

解：（1）方程x²-2（m+1）x+m²=0有兩個整數根，
∴△=4（m+l）²-4m²=8m+4≥0，且為完全平方數，
∵m<5且m為整數，
∴0≤8m+4<44，
∴m=0或4；
（2）當m=0時，方程的根為x₁=0，x₂=2；
當m=4時，方程的根為x₃= 8，x₄=2，
∵方程有兩個非零的整數根，
∴m=4
∴二次函數y=x²-2（m+l）x+m²的解析式是y=x²-10x+16，
將y=x²-10x+16=（x-5）²-9的圖象沿x軸向左平移4個單位長度得到：y=（x-1）² -9，
∴平移后的二次函數圖象的解析式為y=x²-2x-8；
（3）當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，可知直線與平移后的拋物線只有一個交點或者過兩條拋物線的交點（3，-5），
①當直線y=x+b與平移后拋物線只有一個交點時，
由y=x²-2x-8，y=x+b，
得方程x²-2x-8=x+b，
即x²-3x-8-b=0，
∴△=41+4b=0，
∴b=-，
②當直線y=x+b過點（3，-5）時，b=-8，
綜上所述，當直線y=x+b與（2）中的兩條拋物線有且只有三個交點時，b=-或b=-8。