Question

【題目】如圖1，拋物線與x軸，y軸的正半軸分別交于點和點，與x軸負半軸交于點A，動點M從點A出發沿折線向終點B勻速運動，將線段繞點O順時針旋轉得到線段，連接.

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）如圖2，當點N在線段上時，求證：；

（3）當點N在線段上時，直接寫出此時直線與拋物線交點的縱坐標；

（4）設的長度為n，直接寫出在點M移動的過程中，的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）略；（3）0或4或；（4）

【解析】

（1）運用待定系數法，把代入解析式，求出a和c，即可得出函數解析式.

（2）易知△MON是等邊三角形，當點N在AC上時，證△AMO≌△CNO即可得到AM=CN.

(3)當N在BC上時，易得MN⊥OC,由30度角的直角三角形的性質，運用勾股定理列方程求解即可.

（4）求最值問題，先找出點M、N的運動軌跡，確定其在什么位置時有最值.再利用數形結合求解.

（1）將B(4,0),C(0,4)代入y=a+c得:

,

∴.

(2)由已知可得A（-4，0），

∴AO=CO=4,

∠MAO=∠NCO=45°,

由旋轉可知OM=ON，又∵∠NOM=60°,

∴△MON是等邊三角形，∠NMO=∠MNO =60°,

∴∠AMO=∠CNO,

∴△AOM≌△CON,

∴AM=CN;

(3)當N在BC上時，分兩種情況：

① M在AC上，如圖所示:此時MN∥x軸，與y軸交于點D，過點N作NE⊥OB交OB于點E.可設N（a,4-a）,

∵△MON為等邊三角形,

∴ND=a, OD=4-a,ON=2a,

由勾股定理可得+=,

解得-2, -2(不合題意，舍去),

∴OD=4-a＝6-,

∴MN與拋物線圖象交點的縱坐標是6-;

② M在BC上，如圖所示，

此時MN所在直線與拋物線交于點B、C.

∴MN與拋物線圖象交點的縱坐標是0或4.

綜上，直線MN與拋物線圖象交點的縱坐標是0或4或6-

(4)作等邊△AOD、等邊△OCE,

△AOM繞點O旋轉60°與△ODN重合得∠CAO＝∠EDO＝45°,

當M在AC上時，點N的軌跡是經過D且與OD成45°的一條線段DE.

∴的最大值為＝+＝48.

同理，當M在BC上時，N的軌跡為線段EF.

的最小值為B到EF的距離BP.

∵△OEF為等腰直角三角形，∴OH＝2,

由E（），F(2, )可得直線解析式y=(2+)x-(4+),

可得G（-4，0），∴OG=-4,BG=8-,

由△BPG∽△OGH可得=,

得BP= 此時＝=8-,

∴8-≤48.