Question

【題目】如圖，點F在ABCD的對角線AC上，過點F，B分別作AB，AC的平行線相交于點E，連接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB．

（1）求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）若BE=5，AD=8，sin∠CBE= ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵EF∥AB，BE∥AF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形．

∵∠ABF=∠FBC+∠FCB，∠AFB=∠FBC+∠FCB，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

∴ABEF是菱形；

（2）解：作DH⊥AC于點H，

∵ ，

∴∠CBE=30°，

∵BE∥AC，

∴∠1=∠CBE，

∵AD∥BC，

∴∠2=∠1，

∴∠2=∠CBE=30°，

Rt△ADH中， ，

DH=ADsin∠2=4，

∵四邊形ABEF是菱形，

∴CD=AB=BE=5，

Rt△CDH中， ，

∴ ．

【解析】（1）易證四邊形ABEF是平行四邊形，再證AB=AF，即可得證；
（2）作DH⊥AC于點H，求得∠CBE=30°，再證明∠2=∠1=30°，求出AH的長，在Rt△CDH中求出CH的長，由AC=AH+CH可得.
【考點精析】根據題目的已知條件，利用勾股定理的概念和平行四邊形的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．