Question

【題目】在一次課題學習活動中，老師提出了如下問題：如圖，四邊形是正方形，點是邊的中點，，且交正方形外角平分線于點．請你探究與存在怎樣的數量關系，并證明你的結論正確．經過探究，小明得出的結論是，而要證明結論，就需要證明和所在的兩個三角形全等，但和顯然不全等（一個是直角三角形，一個是鈍角三角形），考慮到點是邊的中點，小明想到的方法是如圖2，取的中點，連接，證明．從而得到．請你參考小明的方法解決下列問題．

（1）如圖3，若把條件“點是邊的中點”改為“點是邊上的任意一點”，其余條件不變，證明結論仍然成立；

（2）如圖4，若把條件“點是邊的中點”改為：“點是邊延長線上的一點”，其余條件仍不變，那么結論是否還成立？若成立，請完成證明過程，若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）正確，見解析；（2）正確，見解析

【解析】

（1）在AB上取點，連接，證明△PAE≌△CEF即可；

（2）延長BA至，使=CE，連接，證明△ANE≌△ECF即可．

解：（1）正確．

證明：在AB上取一點M，使AM=EC，連接ME．

四邊形是正方形，

∴BM=BE，

∴∠BME=45°，

∴∠AME=135°，

∵CF是外角平分線，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°，

∴∠AME=∠ECF，

∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AME≌△ECF（ASA），

∴AE=EF．

（2）正確．

證明：在BA的延長線上取一點N．

使AN=CE，連接NE．

∴BN=BE，

∴∠N=∠NEC=45°，

∵CF平分∠DCG，

∴∠FCE=45°，

∴∠N=∠ECF，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD∥BE，

∴∠DAE=∠BEA，

即∠DAE+90°=∠BEA+90°，

∴∠NAE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF（ASA）

∴AE=EF．