Question

【題目】如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，OD⊥AB于點O，分別交AC、CF于點E、D，且DE=DC．
（1）求證：CF是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，BC= ，求DE的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OC，

∵OA=OC，

∴∠A=∠OCA，

∵OD⊥AB，

∴∠A+∠AEO=90°，

∵DE=DC，

∴∠DEC=∠DCE，

∵∠AEO=∠DCE，

∴∠AEO=∠DCE，

∴∠OCE+∠DCE=90°，

∴∠OCF=90°，

∴OC⊥CF，

∴CF是⊙O切線．

（2）

解：作DH⊥AC于H，則∠EDH=∠A，

∵DE=DC，

∴EH=HC= EC，

∵⊙O的半徑為5，BC= ，

∴AB=10，AC=3 ，

∵△AEO∽△ABC，

∴ = ，

∴AE= = ，

∴EC=AC﹣AE= ，

∴EH= EC= ，

∵∠EDH=∠A，

∴sin∠A=sin∠EDH，

∴ = ，

∴DE= = =

【解析】（1）連接OC，欲證明CF是⊙O的切線，只要證明∠OCF=90°．
　　　　（2）作DH⊥AC于H，由△AEO∽△ABC，得 = 求出AE，EC，再根據sin∠A=sin∠EDH，得到 = ，求出DE即可．本題考查切線的性質、相似三角形的判定和性質、三角函數等知識，解題的關鍵是添加輔助線，構造相似三角形，屬于中考常考題型．