Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB為直徑，BC＝CD，過點C作CE⊥AB于點E，CH⊥AD交AD的延長線于點H，連接BD交CE于點G．

（1）求證：CH是⊙O的切線；

（2）若點D為AH的中點，求證：AD＝BE；

（3）若sin∠DBA＝，CG＝5，求BD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）16

【解析】

（1）連接OC，OD，證得∠BAH＝∠BOC，得出AH∥OC，則OC⊥CH，則結論得證；

（2）連接AC，得出CE＝CH，證明Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），則BE＝DH，證出AD＝DH，則可得出結論；

（3）延長CE交⊙O于點F，得出GB＝GC＝5，在Rt△GEB中，sin∠GBE＝，可求出GE＝3，由勾股定理求出BE，證明Rt△AEC∽△Rt△CEB，由可求出AE，再求出AD，則可得出BD的長．

（1）證明：如圖，連接OC，OD，

∵BC＝CD，

∴∠BOC＝∠COD＝∠BOD，

又∵∠BAH＝∠BOD，

∴∠BAH＝∠BOC，

∴AH∥OC，

∵AH⊥CH，

∴OC⊥CH，

∴CH是⊙O的切線；

（2）證明：如圖，連接AC，

∵BC＝CD，

∴，

∴∠BAC＝∠CAH，

又∵CE⊥AB，CH⊥AH，

∴CE＝CH，

∴Rt△CEB≌Rt△CHD（HL），

∴BE＝DH，

∵點D為AH的中點，

∴AD＝DH，

∴AD＝BE；

（3）解：如圖，延長CE交⊙O于點F，

∵AB是⊙O的直徑，CF⊥AB，

∴＝＝，

∴∠BCE＝∠CBD，

∴GB＝GC＝5，

在Rt△GEB中，sin∠GBE＝，

∴GE＝3，

∴BE＝＝＝4，

CE＝CG+GE＝5+3＝8，

∵∠EAC＝∠CAD＝∠CBD＝∠BCE，∠AEC＝∠CEB＝90°，

∴Rt△AEC∽△Rt△CEB，

∴，

即，

∴AE＝16，

∴AB＝AE+BE＝16+4＝20，

在Rt△ADB中，sin∠DBA＝，

∴AD＝AB＝×20＝12，

∴BD＝＝＝16．