Question

如圖，P是正方形ABCD內一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．
（1）在圖中是否存在兩個全等的三角形，若存在請寫出這兩個三角形并證明；若不存在請說明理由；
（2）若（1）中存在，這兩個三角形通過旋轉能夠互相重合嗎？若重合請說出旋轉的過程；若不重合請說明理由；
（3）PB與BE有怎樣的位置關系，說明理由；
（4）若PA=1，PB=2，∠APB=135°，求AE的值．

Answer 1

分析：（1）由AB=CB，∠ABE=∠CBP，BE=BP，可證：△CPB≌△AEB，故在圖中存在兩個全等的三角形；
（2）△CPB繞B點按順時針方向旋轉90°可得到△AEB，故這兩個三角形通過旋轉能夠互相重合；
（3）由∠ABE=∠CBP，∠CBP+∠ABP=90°，可得：∠ABP+∠ABE=90°，故PB⊥BE；
（4）在Rt△PBE中，BE=BP，可得：∠BPE=45°，PE=

2

PB；又∠APB=135°可得：∠APE=90°，故在Rt△APB中，運用勾股定理可將AE的長求出．

解答：解：（1）存在，△CPB≌△AEB．
證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CB，
∵∠ABE=∠CBP，BE=BP，
∴△CPB≌△AEB；

（2）能重合．△CPB繞B點按順時針方向旋轉90°可得到△AEB；

（3）PB⊥BE．
理由如下：由（1）知：△CPB≌△AEB，
∴∠ABE=∠CBP，
∵四邊形ACBD是正方形，
∴∠ABC=90°即∠CBP+∠ABP=90°，
∴∠ABE+∠ABP=90°，
∴PB⊥BE；

（4）連接PE，
∵PB=EB，
∴∠BPE=∠BEP，
∵∠PBE=90°，
∴∠BPE=45°，
∵∠APB=135°，
∴∠APE=∠APB-∠BPE=90°，
在Rt△BPE中，PE=

PB2+EB2

=

22+22

=

8

=2

2

，
在Rt△APE中，AE=

AP2+PE2

=

12+( 8 )2

=

9

=3．

點評：本題主要考查全等三角形的判定定理及勾股定理在解直角三角形中的應用．