Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與直線交于點．

(1)求， 的值；

(2)已知點，點關于原點對稱，現將線段沿軸向上平移 (>0)個單位長度．若線段與拋物線有兩個不同的公共點，試求的取值范圍；

(3)利用尺規作圖，在該拋物線上作出點，使得，并簡要說明理由．(保留作圖痕跡)

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）取值范圍為；（3）作圖見解析，理由見解析.

【解析】試題分析：(1)、根據一次函數解析求出點M的坐標，然后將點M的坐標代入二次函數解析式得出b的值；(2)、根據對稱得出點N的坐標，過點N作CN⊥x軸，交拋物線于C，從而得出CN=AN=2，即當S=2時線段MN與拋物線有兩個交點，然后設平移后的解析式為y=2x+s，然后將一次函數和二次函數聯立成方程組，根據根的判別式得出s的值，從而得出取值范圍；(3)、如圖，在x軸上取一點P(-2,0)以P為圓心，OP為半徑作圓，⊙P與拋物線的交點，即是所求作的點G，根據△GPA和△BPG相似得出答案.

試題解析：（1）、把代入得

把代入得即

（2）、由（1）得

因為點，點關于原點對稱，所以

過點N作軸，交拋物線于C, 則C的橫坐標為

所以C的縱坐標為 所以與重合.

則，即當線段與拋物線有兩個公共點.

設平移后的直線表達式為 由得

由得 即當線段與拋物線只有一個公共點.

所以，當線段與拋物線有兩個公共點時. 取值范圍為

(3）、如圖，在軸上取一點以為圓心， 為半徑作圓，⊙與拋物線的交點，即是所求作的點（圖中的與）

理由：當點在軸上方時， 由作圖可知，

則 又∵ ∴ ∴

∵ ∴

又 ∴

同理可證：當點（）在軸下方時，結論也成立.