Question

“哪里的民營經濟發展得好，哪里的經濟就越發達．”恒強科技公司在重慶市委市政府這一執政理念的鼓舞下，在已有高科技產品A產生利潤的情況下，決定制定一個開發利用高科技產品B的10年發展規劃，該規翹晦年的專項投資資金是50萬元，在前五年，每年從專項資金中最多拿出25萬元投入到產品A使它產生利潤，剩下的資金全部用于產品B的研發．經測算，每年投入到產品A中x萬元時產生的利潤y₁（萬元）滿足下表的關系

x（萬元）	10	20	30	40
y1（萬元）	2	8	10	8

從第六年年初開始，產品B已研發成功，在產品A繼續產生利潤的同時產品B也產生利潤，每年投入到產品B中x萬元時產生的利潤y₂（萬元）滿足．
（1）請觀察題目中的表格，用所學過的一次函數、二次函數或反比例函數的相關知識，求出y₁與x的函數關系式？
（2）按照此發展規劃，求前5年產品A產生的最大利潤之和是多少萬元？
（3）后5年，專項資金全部投入到產品A、產品B使它們產生利潤，求后5年產品A、產品B產生的最大利潤之和是多少萬元？

Answer 1

解：（1）設y₁=ax²+bx+c，
則，
解得：，
故可得y₁=-x²+x-8．

（2）y₁=-x²+x-8=-（x-30）²+10，
∵0＜x≤25，
∴當x=25時，y₁取得最大，y_1最大=9.5萬元，
故前5年產品A產生的最大利潤之和=9.5×5=47.5萬元．

（3）設每年投入B a萬元，則投入A （50-a）萬元，后5年每年產生的最大利潤為W，
則W=-a²+a-202-（50-a）²+（50-a）-8=-a²+60a-200=-（a-30）²+700，
當a=30時，W取得最大，W_最大=700萬元，
故后5年產品A、產品B產生的最大利潤之和是3500萬元．
分析：（1）根據表格數據特點，可發現，y₁與x不是一次函數關系，也不是反比例函數關系，故可設y₁=ax²+bx+c，選擇三點代入可得出答案．
（2）利用配方法確定A產品每年的最大利潤，繼而可得前5年產品A產生的最大利潤之和；
（3）設每年投入B a萬元，則每年投入A （50-a）萬元，設后5年每年產生的最大利潤為W，利用配方法求出最值，繼而可得后5年產品A、產品B產生的最大利潤之和．
點評：本題考查了二次函數的應用，待定系數法求函數解析式的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握配方法求二次函數最值的應用，計算量較大，注意細心求解．