Question

先自學下列材料，再解題．在不等式的研究中，有以下兩個重要基本不等式：
若a≥0，b≥0，則

a+b

2

≥

ab

 …①
若a≥0，b≥0，c≥0，則

a+b+c

3

≥

3	abc

…②
不等式①、②反映了兩個（或三個）非負數的算術平均數不小于它們的幾何平均數．這兩個基本不等式在不等式證明中有著廣泛的應用．現舉例如下：
若ab＞0，試證明不等式：

(a+b)2+2ab

3

≥

3	(a+b)2a2b2

．
證明：∵ab＞0
∴

(a+b)2+2ab

3

=

(a+b)2+ab+ab

3

≥

3	(a+b)2•ab•ab

即

(a+b)2+2ab

3

≥

3	(a+b)2a2b2

．
現請你利用上述不等式①、②證明下列不等式：
（1）當ab≥0時，試證明：

a2+b2+10ab

12

≥

3	(a+b)2a2b2 4

．
（2）當a、b為任意實數時，試證明：

a2+b2+ab

3

≥

3	(a+b)2a2b2 4

．

Answer 1

分析：（1）根據已知得出

a2+b2+10ab

12

=

1

3

×

a2+b2+2ab+8ab

4

=

1

3

×[

1

4

（a+b）²+ab+ab]即可利用例題得出答案；
（2）根據當ab≥0時與當ab＜0時，利用例題分別得出例題形式即可證明．

解答：解：（1）∵ab≥0，
∴

a2+b2+10ab

12

=

1

3

×

a2+b2+2ab+8ab

4

，
=

1

3

×[

1

4

（a+b）²+ab+ab]≥

3	(a+b) 2(ab)×(ab) 4

=

3	(a+b) 2(ab) 2 4

，

（2）當ab≥0時，

a2+b2+ab

3

=

4(a2+b2)+4ab

12

，
=

(a2+b2)+4ab+3(a2+b2)

12

≥

(a2+b2)+4ab+6ab

12

，
=

a2+b2+10ab

12

≥

3	(a+b) 2a2b2 4

，
當ab＜0時，

a2+b2+ab

3

=

(a2+b2+2ab)-ab

3

，
=

(a+b) 2- 1 2 ab- 1 2 ab

3

≥

3	(a+b) 2×(- 1 2 ab)(- 1 2 ab)

，
=

3	1 4 (a+b) 2a2b2

．

點評：此題主要考查了幾何不等式的應用，根據已知將原式變形為例題形式是解題關鍵．