Question

如圖，在△ABC中，AB=10，BC=21，sinB=

4

5

，點D是BA延長線上一點，⊙O與△DBC的三邊BD、BC、CD分別相切于點E、F、G，且點E在線段AD上．
（1）求△ABC的內切圓⊙O_l半徑r；
（2）設⊙O的半徑為x，CF的長為y，求y與x之間的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）△DBC的面積值能否是周長值的兩倍？如果能夠，請求出BE的長；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）可作AH⊥BC于H，由三角形的面積入手，即可求解半徑的長；
（2）要找y與x之間的函數解析式，可由△O₁BI∽△OBF得出對應邊成比例，而對于x的取值范圍，則應保證其小于圓的半徑；
（3）可先假設題中結論成立，通過面積的關系代入計算，得出x的值不滿足題意，即得出結論不成立．

解答：解：（1）作AH⊥BC于H，則AH=8，BH=6，CH=15，AC=17，
由S_△ABC=

1

2

BC•AH=

1

2

(AB+BC+AC)r，
即

1

2

×21×8=

1

2

(10+21+17)r，
解得r=

7

2

．

（2）連接OB、OF、O₁I，（I為⊙O_l與BC的切點），
BI=

1

2

(AB+BC-AC)=7，BF=21-y，
由△O₁BI∽△OBF得

O 1I

BI

=

OF

BF

，

7 2

7

=

x

21-y

，
∴y與x之間的函數解析式為y=-2x+21．
當BD∥CD時，兩平行線之間距離為BC×sinB=

84

5

，此時⊙O的半徑為

42

5

，BF=21-y=2x=BE≥BA，x≥5，
∴函數自變量x的取值范圍為5≤x＜

42

5

．

（3）假設能夠，則S_△DBC=

1

2

(BD+BC+CD)x，S_△DBC=

1

2

•

1

2

S△DBC•x，x=4．
這不符合題意，
所以△DBC的面積值不可能是周長值的兩倍．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質以及三角形的面積計算和圓形切線的性質，圓形與三角形結合，題目有一定的難度，解題時應多思考．