Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與⊙M相交于A、B、C、D四點．其中AB兩點的坐標分別為（-1，0），（0，-2），點D在軸上且AD為⊙M的直徑．點E是⊙M與軸的另一個交點，過劣弧上的點F作FH⊥AD于點H，且FH=1．5．

（1）求點D的坐標及該拋物線的表達式；

（2）若點P是軸上的一個動點，試求出⊿PEF的周長最小時點P的坐標；

（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使⊿QCM是等腰三角形？如果存在，請直接寫出點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0），；（2）P（2，0）；

（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），∴Q（，-）．

【解析】

試題分析：（1）根據題意，設點M的坐標為（，0），根據兩點間的距離公式（半徑相等）可以求得，則點D的坐標為（4，0），這樣就可以根據交點式來求解拋物線的解析式：=；

（2）要在軸上的找到一點P，使得⊿PEF的周長最小，我們先來看E，F兩點，這是兩個定點，也就是說EF的長度是不變的，那實際上這個題目就是求PE+PF的最小值，這就變成了軸對稱問題中最為經典的“放羊問題”，要解決這一問題首先我們看圖中有沒有E或F的對稱點，根據題意，顯然是有E點的對稱點B的，那么連接BF與軸的交點就是我們要求的點P（2，0）；

（3）首先點M本身就在拋物線對稱軸上，其坐標為；點C是點B關于拋物線對稱軸的對稱點，所以點C的坐標為（3，-2）；求Q點的坐標，根據題意可設Q點為（）．⊿QCM是等腰三角形，則可能有三種情況，分別是QC=MC；QM=MC；QC=QM．根據這三種情況就能求得Q點的坐標可能是或或．

試題解析：（1）∵A（-1，0），B（0，-2）

∴OE=OB=2，OA=1，

∵AD是⊙M的直徑，

∴OE·OB=OA·OD，

即：2=1·OD，OD=4，

∴D（4，0），

把A（-1，0），B（0，-2），D（4，0）代入得：

，即

該拋物線的表達式為：．

連接AF，DF，

∵FH⊥AD于點H，AD為直徑

∴△AFH∽△FDH，

∴HF=DH·AH，

∵E點與B點關于點O對稱，

根據軸對稱的性質，連接BF交x軸于點P，

∵A（-1，0），D（4，0），

∴AD=5，

設DH=x，則AH=5-x，

即1．5=x（5-x），

5x-x=，

4x-20x+9=0，

（2x-1）（2x-9）=0，

由AH＞DH，

∴DH=，

∴OH=OD-DH=，

∴F（3．5，1．5），

設直線BF的解析式為，

則3．5k+b=1．5；b=-2，

則k=1，b=-2，

∴y=x-2，

令y=0，則x=-2，

∴P（2，0）

（3）Q（，），Q（，-），Q（，-4），∴Q（，-）．