Question

如圖，A，B分別為x軸和y軸正半軸上的點(diǎn)，OA，OB的長分別是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），直線BC平分∠ABO交x軸于C點(diǎn)，P為BC上一動點(diǎn)，P點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度從B點(diǎn)開始沿BC方向移動．
（1）設(shè)△APB和△OPB的面積分別為S₁，S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）設(shè)PA-PO=m，P點(diǎn)的移動時(shí)間為t．
①當(dāng)0＜t≤4

5

時(shí)，試求出m的取值范圍；
②當(dāng)t＞4

5

時(shí)，你認(rèn)為m的取值范圍如何？（只要求寫出結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）先求出OA和OB的長度，P是角平分線上的點(diǎn)，P到OB，AB的距離相等，而兩個(gè)三角形的高相等，S₁：S₂=AB：OB=5：3；
（2）過C點(diǎn)作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D．得出OD=OC，BD=OB，再設(shè)OC=a，則OD=a，AC=8-a，利用勾股定理求出a以及點(diǎn)C的坐標(biāo)．設(shè)BC的解析式y(tǒng)=kx+b，把已知坐標(biāo)代入得出y=-2x+6；
（3）首先勾股定理求出BC．當(dāng)t=4

5

時(shí)，作P₁Q⊥x軸于Q，利用線段比求得CQ=1，OQ=

1

2

OA，P₁O=PA．當(dāng)0＜t≤4

5

時(shí)，即P處于B，P₁之間時(shí)，在BA上截取BE=BO，連接PE，則△OPB≌△EPB．然后求得PA-PO＜4．作PR⊥OA于R，則R處于線段OQ上，此時(shí)OR＜AR．利用勾股定理求出PA，PO的值，可得m＞0，綜合所述可求出0≤m＜4②當(dāng)t＞4

5

時(shí)，m＜0．

解答：解：（1）x²-14x+48=0，
解得x₁=6，x₂=8，
則OA=8，OB=6 AB=10，
P是角平分線上的點(diǎn)，P到OB，AB的距離相等，
S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）過C點(diǎn)作CD⊥AB交AB于點(diǎn)D．
∵BC平分∠ABO，
∴CD=OC，BD=OB=6，
設(shè)OC=a，則CD=a，AC=8-a，
∵AC²=CD²+AD²，
∴（8-a）²=a²+（10-6）²，
解得a=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），
∴設(shè)BC的解析式為y=kx+b，得

6=b 0=3k+b

，
∴k=-2，b=6，
∴BC的解析式為y=-2x+6；

（3）①∵BC=

BO2+OC2

，
∴BC=

62+32

=3

5

，
當(dāng)t=4

5

時(shí)，設(shè)P點(diǎn)到達(dá)P₁點(diǎn)的位置（如圖2），作P₁Q⊥x軸于Q，則

P1C

BC

=

CQ

OC

，
∵P₁C=P₁B-BC=4

5

×1-3

5

=

5

，
∴

5

3 5

=

CQ

3

，
∴CQ=1，
∴OQ=4=

1

2

OA，
∴P₁O=PA，
∴當(dāng)t=4

5

時(shí)，PA-PO=0，即m=0．
當(dāng)0＜t≤4

5

時(shí)，即P處于B，P₁之間時(shí)，
在BA上截取BE=BO，連接PE，則△OPB≌△EPB，
∴PE=PO．
在△PAE中，PA-PE＜AE，而AE=4，
∴PA-PO＜4，即m＜4．
作PR⊥OA于R，則R處于線段OQ上，此時(shí)OR＜AR，
∵PA=

PR2+AR2

，PO=

PR2+OR2

，
∴PA＞PO，
∴PA-PO＞0，即m＞0．
綜上所述，當(dāng)0＜t≤4

5

時(shí)，0≤m＜4；
②當(dāng)t＞4

5

時(shí)，m＜0．

點(diǎn)評：本題考查的是一次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式，難度較大．