Question

如圖，⊙O的半徑OD經過弦AB（不是直徑）的中點C，過AB的延長線上一點P作⊙O的

切線PE，E為切點，PE∥OD；延長直徑AG交PE于點H；直線DG交OE于點F，交PE于點K．
（1）求證：四邊形OCPE是矩形；
（2）求證：HK=HG；
（3）若EF=2，FO=1，求KE的長．

Answer 1

（1）證明：∵AC=BC，AB不是直徑
∴OD⊥AB，∠PCO=90°
∵PE∥OD
∴∠P=90°
∵PE是切線
∴∠PEO=90°
∴四邊形OCPE是矩形；

（2）證明：∵OG=OD
∴∠OGD=∠ODG
∵PE∥OD
∴∠K=∠ODG
∵∠OGD=∠HGK
∴∠K=∠HGK
∴HK=HG；

（3）∵EF=2，OF=1
∴EO=DO=3
∵PE∥OD
∴∠KEO=∠DOE，∠K=∠ODG
∴△OFD∽△EFK
∴EF：OF=KE：OD=2：1
∴KE=6．