Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C．

（1）點A的坐標為_____，點C的坐標為______；

（2）如圖，點M在拋物線位于A、C兩點間的部分（與A、C兩點不重合），過點M作PM⊥AC，與x軸正半軸交于點P，連接PC，過點M作MN平行于x軸，交PC于點N．

①若點N為PC的中點，求出PM的長；

②當MN=NP時，求PC的長以及點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①，②PC＝5，點的坐標為

【解析】

（1）在拋物線的解析式中，分別令y=0和x=0，即可得出結論．

（2）設直線MN與y軸相交于點E．過M作MF⊥x軸，垂足為F．

①由N是CP的中點，MN平行于x軸，得到E為CO的中點，從而得出MF =2，令拋物線解析式中y=2，解方程即可得出M的坐標，易求直線AC的解析式為y=2x+4，，由MP⊥AC，可設直線MP為，把M的坐標代入得到b的值，從而得到直線MP的解析式，進而求出P的坐標，根據兩點間的距離公式即可求出PM的值．

②設AC交MP于G．由平行線的性質和等腰三角形的性質可得∠NPM=∠MPA，進而得到△APG≌△CPG，根據全等三角形的性質得到AG=GC，AP=PC．設P（x，0），根據兩點間的距離公式列方程，求出x的值，可得P的坐標，得到PC=PA=5．再由中點坐標公式得到G的坐標．求出直線PG的解析式，和拋物線的解析式聯立組成方程組，解方程組即可得到M的坐標．

（1）在中，令y=0，得：，解得：x=－2或x=4，∴A（－2，0），B（4，0）．令x=0，得：y=4，∴C（0，4）．

（2）直線MN與y軸相交于點E．過M作MF⊥x軸，垂足為F．

①∵N是CP的中點，MN平行于x軸，∴E為CO的中點，∴MF=OE=CO=2，∴，解得：x=或x=（舍去），∴M（，2），易求直線AC的解析式為y=2x+4．

∵MP⊥AC，∴直線MP為，把M（，2）代入得：b=，∴直線MP的解析式為：，令y=0，得：x=，∴P（，0），∴PM=．

②設AC交MP于G．

∵MN∥AB，∴∠NMP=∠MPA．

∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，∴∠NPM=∠MPA．

∵PG=PG，∠PGA=∠PGC=90°，∴△APG≌△CPG，∴AG=GC，AP=PC．設P（x，0），∴，解得：x=3，∴P（3，0），∴PC=PA=3+2=5．

∵AG=GC，∴G為AC的中點，∴G（－1，2）．

設直線PG為y=kx+b，∴，解得： ，∴直線PG為．解方程組：，得： 或（舍去），∴點M的坐標為．