Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠D=∠BCD=90°，∠B=60°，AB = 6，AD = 9，點E是CD上的一個動點（E不與D重合），過點E作EF∥AC，交AD于點F（當E運動到C時，EF與AC重合），把△DEF沿著EF對折，點D的對應點是點G,如圖①．

⑴ 求CD的長及∠1的度數；
⑵ 設DE = x，△GEF與梯形ABCD重疊部分的面積為y．求y與x之間的函數關系式，并求x為何值時，y的值最大?最大值是多少?
⑶ 當點G剛好落在線段BC上時,如圖②,若此時將所得到的△EFG沿直線CB向左平移，速度為每秒1個單位，當E點移動到線段AB上時運動停止.設平移時間為t（秒）,在平移過程中是否存在某一時刻t，使得△ABE為等腰三角形?若存在，請直接寫出對應的t的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）CD= ，∠1 =30°；（2）當x=時，y的值最大，y的最大值為；（3）存在， t=9或t=9﹣2或t=12﹣．

解析試題分析：（1）過點A作AH⊥BC于點H，構建Rt△AHB和矩形AHCD；通過解直角三角形、矩形的性質求得CD=AH=．則，故∠CAD=30°；然后由平行線的性質推知∠1=∠CAD=30°；
（2）根據△EFG≌△EFD列出y的表達式，從而討論x的范圍，分別得出可能的值即可；
（3）需要分類討論：以AB為底和以AB為腰的情況．
試題解析：（1）過點A作AH⊥BC于點H．

∵在Rt△AHB中，AB=6，∠B=60°，
∴AH=AB•sinB=
∵四邊形ABCD為直角梯形
∴四邊形AHCD為矩形
∴CD=AH=．
∵
∴∠CAD=30°
∵EF∥AC
∴∠1=∠CAD=30°；
（2）點G恰好在BC上，由對折的對稱性可知△FGE≌△FDE，

∴GE=DE=x，∠FEG=∠FED=60°
∴∠GEC=60°
∵△CEG是直角三角形
∴∠EGC=30°
∴在Rt△CEG中，EC=EG=x
由DE+EC=CD 得
∴x=；
當時，

y=S_△EGF=S_△EDF=·DE·DF=x·x=x²，
∵＞0，對稱軸為y軸
∴當，y隨x的增大而增大
∴當x=時，y_最大值=；
當＜x≤時，設FG，EG分別交BC于點M、N

∵DE=x，
∴EC=﹣x，NE=2(﹣x)，
∴NG=GE﹣NE=3x﹣．
又∵∠MNG=∠ENC=30°，∠G=90°，
∴MG=NG•tan30°=，
，
y=S_△EGF﹣S_△MNG==．
∵，對稱軸為直線，
∴當＜x≤時，y有最大值，
∴當x=時，．
綜合兩種情形：由于＜
∴當x=時，y的值最大，y的最大值為；
（3）由題意可知：AB=6，分三種情況：
①若AE=BE，解得t=9
②若AB=AE，解得t=9﹣2
③若BA=BE，解得t=12﹣．
考點：1.二次函數綜合題2.全等三角形的判定與性質．