Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在邊BC上，連接BE、DF，DF交對角線AC于點G，且DE=DG．
（1）求證：AE=CG；
（2）試判斷BE和DF的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：在正方形ABCD中，

∵AD=CD，

∴∠DAE=∠DCG，

∵DE=DG，

∴∠DEG=∠DGE，

∴∠AED=∠CGD．

在△AED和△CGD中，

∴△AED≌△CGD（AAS），

∴AE=CG

（2）解：解法一：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCG．

在△AEB和△CGD中，

∴△AEB≌△CGD（SAS），

∴∠AEB=∠CGD．

∵∠CGD=∠EGF，

∴∠AEB=∠EGF，

∴BE∥DF．

解法二：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AD∥FC，

∴ = ．

∵CG=AE，

∴AG=CE．

又∵在正方形ABCD中，AD=CB，

∴ = ．

又∵∠GCF=∠ECB，

∴△CGF∽△CEB，

∴∠CGF=∠CEB，

∴BE∥DF

【解析】（1）先證∠AED=∠CGD，再證明△ADE≌△CDG，根據全等三角形的對應邊相等即可得出結論；（2）先證明△AEB≌△CGD，得出對應角相等∠AEB=∠CGD，得出∠AEB=∠EGF，即可證出平行線．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．