Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系 xOy中，直線ykxb與 x軸相交于點A，與反比例函數在第一象限內的圖像相交于點 A(1，8)、B(m，2)．

(1)求該反比例函數和直線y kxb的表達式；

(2)求證：ΔOBC為直角三角形；

(3)設∠ACO＝α，點Q為反比例函數在第一象限內的圖像上一動點，且滿足90°－α＜∠QOC＜α，求點Q的橫坐標q的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；；（2）證明見解析；(3)．

【解析】

（1）首先利用待定系數法求得反比例函數的解析式，然后求得B的坐標，則利用待定系數法即可求得直線的解析式；

（2）過點B作BD⊥OC于點D，在直角△OBD和直角△OBC中，利用勾股定理求得和，然后利用勾股定理的逆定理即可證明；

（3）分成Q在B的左側和右側兩種情況討論，當在右側時一定不成立，當在左側時，判斷是否存在點Q時∠QCO=90°-α即可．

(1)設反比例函數的解析式是y=kx，

把(1,8)代入得k=8，

則反比例函數表達式為，

把(m,2)代入得，

則B的坐標是(4,2).

根據題意得：，

解得：，

，則直線表達式y=2x+10；

(2)過點B作BD⊥OC于點D,(圖1)則D的坐標是(4,0).

在y=2x+10中，令y=0，解得x=5，則OC=5.

∵在直角△OBD中，BD=2，DC=OCOD=54=1，

則，

同理,直角△BCD中, ，

∴，

∴△OBC是直角三角形；

(3)當Q在B的右側時一定不成立，

在y=2x+10中,令x=0,則y=10,

則當Q在的左邊時,(圖2)tan∠ACO=tanα=2，

則tan(90°α)= .

當∠QCO=90°α時,Q的橫坐標是p,則縱坐標是，

tan∠QCO=tan(90°α)= :(5p)=

即，

△=254×16=39<0，則Q不存在，

故當Q在AB之間時，滿足條件，

因而2<q<4.