Question

如圖，已知頂點(diǎn)為P的拋物線y=

1

2

x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（-3，6），并x軸交于B（-1，0），C兩點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）求四邊形ABPC的面S；
（3）試判斷四邊形ABPC的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求出未知數(shù)的值，從而求出函數(shù)解析式．
（2）根據(jù)（1）所求拋物線的解析式可求出B點(diǎn)及P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)△ABC及△BPC的面積即可求出四邊形ABPC的面積．
（3）過點(diǎn)A和點(diǎn)P分別作x軸的垂線段AE和PF，根據(jù)拋物線的對稱性及直角三角形的判定定理可判斷出△BPC是等腰直角三角形，在由A點(diǎn)坐標(biāo)及CE兩點(diǎn)之間的距離可求出△AEC為等腰直角三角形，可判斷出四邊形ABPC是直角梯形．

解答：解：（1）把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式得到

1 2 ×9-3b+c=6 1 2 ×1-b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

所以，拋物線的解析式為y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由拋物線解析式易得C（3，0），頂點(diǎn)P（1，-2），
S_{四邊形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

BC•y_A+

1

2

BC•|y_p|=

1

2

（3+1）×6+

1

2

（3+1）×2=16，

（3）四邊形ABPC是直角梯形．理由如下：
如圖，過點(diǎn)A和點(diǎn)P分別作x軸的垂線段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|y_p|=2，BC=4
∴PF=

1

2

BC
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|y_A|=6，CE=x_c-x_a=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四邊形ABPC是直角梯形．

點(diǎn)評：本題結(jié)合梯形及直角三角形的性質(zhì)考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，是一道綜合性較好的題目．