Question

【題目】如圖，已知為上的一點，按下列要求進行作圖．

（1）作的平分線.

（2）在上取一點，使得.

（3）愛動腦筋的小剛經過仔細觀察后，進行如下操作：在邊上取一點，使得，這時他發現與之間存在一定的數量關系，請寫出 與的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）或．

【解析】試題分析：（1）以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧與∠AOB的兩邊分別相交，再以兩交點為圓心，以大于兩交點之間的距離的一半為半徑畫弧，相交于一點，過這一點與O作射線OC即可；
（2）在OC上取一點P，使得OP=a；
（3）以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，利用HL證明△E2PM≌△DPN，得出∠OE2P=∠ODP，再根據平角的定義即可求解．

試題解析：（1）如圖，OC即為所求；

（2）如圖，OP=a；
（3）∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．
理由是：以O為圓心，以OD為半徑作弧，交OA于E2，連接PE2，作PM⊥OA于M，
PN⊥OB于N，則PM=PN．
在△E2PM和△DPN中，
，
∴△E2PM≌△DPN（HL），
∴∠OE2P=∠ODP；
以P為圓心，以PD為半徑作弧，交OA于另一點E1，連接PE1，
則此點E1也符合條件PD=PE1，

∵PE2=PE1=PD，
∴∠PE2E1=∠PE1E2，
∵∠OE1P+∠E2E1P=180°，
∵∠OE2P=∠ODP，
∴∠OE1P+∠ODP=180°，
∴∠OEP與∠ODP所有可能的數量關系是：∠OEP=∠ODP或∠OEP+∠ODP=180°．