Question

已知拋物線經過點A（－1，0），B（3，0），交軸于點C，M為拋物線的頂點，連接MB．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在軸上是否存在點P滿足△PBM是直角三角形，若存在，請求出P點的坐標，若不存在，請說明理由；
（3）設Q點的坐標為（8，0），將該拋物線繞點Q旋轉180°后，點M的對應點為，求的度數．

Answer 1

（1） （2）P點的坐標為（0，1），（0，3），，
（3）＝135°

試題分析：（1）∵因為拋物線經過點A（－1，0），B（3，0）
∴
解得
∴
（2）設點P的坐標為（0，y）,

① 若∠MPB＝90°，過點M作ME ⊥x軸，MF ⊥y軸,
易證R t △PFM ∽ R t △BOP，可得：
解得，∴點P的坐標為（0，1），（0，3）

② 若∠PMB＝90°，同理，R t △PFM ∽ R t △BEM，
∴ 解得： ∴點P的坐標為
③ 若∠MBP＝90°，同理, R t △POB ∽ R t △BEM
∴，解得： ，∴點P的坐標為
綜上：△PBM是直角三角形時，P點的坐標為（0，1），（0，3），，
（3）
由題意可知：B（3，0），M(1，4)，Q(8，0)，點M，M′關于點Q中心對稱，
∴M′ (15，－4)，
連結M′B，并延長M′B交y軸于點D，
由，可得D（0，1）
連結MD，易證R t △DFM≌R t △DOB
∴△DBM是等腰直角三角形，∠DBM＝45°
∴＝135°
解法二：
過點M′作MB的垂線交MB的延長線于點D，
由△MBM′面積計算，轉化為已知△面積和底邊MB求高D M′，解得
再由 ，  M’D⊥MD， ∴△DBM′是等腰Rt△，
∴    
∴ ∠M’BD=∠BM’D=45°
∴＝135°
點評：該題較為復雜，是�？碱}，主要考查學生對求二次函數解析式以及對圖形中點與線段在直角坐標系中表示的方法的應用。