Question

（本題10分） 以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結這四個點得四邊形EFGH．如圖1，當四邊形ABCD為正方形時，我們發現四邊形EFGH是正方形；
小題1:（1）如圖2，當四邊形ABCD為矩形時，則四邊形EFGH的形狀是    ；（1分）
小題2:（2）如圖3，當四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設∠ADC=（0°＜＜90°），
小題3:① 試用含的代數式表示∠HAE=              ；（1分）
小題4:② 求證：HE=HG；（4分）③ 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由．（4分）

Answer 1

小題1:（1）答：四邊形EFGH的形狀是正方形．
小題2:（2）解：①∠HAE=90°+a
小題3:證明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE= AB，DG= CD，
在平行四邊形ABCD中，AB=CD，∴AE=DG，…………………………………………3分
∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA=∠CDG=45°，
∴∠HDG=∠HDA+∠ADC+∠CDG=90°+a=∠HAE，……………………………4分
∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA=HD，
∴△HAE≌△HDG，……………………………………………………………5分
∴HE=HG．………………………………………………………………………6分
小題4:答：四邊形EFGH是正方形，………………………………………………7分
理由是：由②同理可得：GH=GF，FG=FE，………………………………………8分
∵HE=HG，∴GH=GF=EF=HE，
∴四邊形EFGH是菱形，…………………………………………………………9分
∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG=∠AHE，
∵∠AHD=∠AHG+∠DHG=90°，∴∠EHG=∠AHG+∠AHE=90°，
∴四邊形EFGH是正方形．………………………………………………………10分

略