Question

【題目】已知拋物線y=x2+kx+2k﹣4

（1）當k=2時，求出此拋物線的頂點坐標；

（2）求證：無論k為任何實數，拋物線都與x軸有交點，且經過x軸一定點；

（3）已知拋物線與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點（A在B的左邊），|x1|＜|x2|，與y軸交于C點，且S△ABC=15．問：過A，B，C三點的圓與該拋物線是否有第四個交點？試說明理由．如果有，求出其坐標．

Answer 1

【答案】（1）頂點坐標為（﹣1，﹣1）．（2）證明見解析；（3）（1，﹣6）．

【解析】解：（１）當＝２時，拋物線為＝＋，…………………………１分

配方： ＝＋＝＋＋１－１

得＝－１，

∴頂點坐標為（－１，－１）；………………………………………………３分

（也可由頂點公式求得）

（２）令＝０，有＋＋－4＝０，………………………………４分

此一元二次方程根的判別式

⊿＝－４·（－４）＝－＋１６＝，…………………５分

∵無論為什么實數， ≥０，

方程＋＋－4＝０都有解，…………………………………………６分

即拋物線總與軸有交點．

由求根公式得＝，………………………………………………７分

當≥４時， ＝，

1＝＝－２， 2＝＝－＋２；

當＜４時， ＝，

1＝＝－＋２， 2＝＝－２．

即拋物線與軸的交點分別為（－２，０）和（－＋２，０），

而點（－２，０）是軸上的定點；…………………………………………８分

（３）過Ａ，Ｂ，Ｃ三點的圓與該拋物線有第四個交點．…………………９分

設此點為Ｄ．∵| 1|＜| 2|，C點在y軸上，

由拋物線的對稱，可知點Ｃ不是拋物線的頂點．……………………………１０分

由于圓和拋物線都是軸對稱圖形，

過Ａ、Ｂ、Ｃ三點的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形．……………………１１分

∵軸上的兩點Ａ、Ｂ關于拋物線對稱軸對稱，

∴過Ａ、Ｂ、Ｃ三點的圓與拋物線的第四個

交點Ｄ應與C點關于拋物線對稱軸對稱．……………………………………１２分

由拋物線與軸的交點分別為（－２，０）和（－＋２，０）：

當－２＜－＋２，即＜４時，…………………………１３分

Ａ點坐標為（－２，０），Ｂ為（－＋２，０）．

即1＝－２， 2＝－＋２．

由| 1|＜| 2|得－＋２＞２，解得＜０．

根據Ｓ△ABC＝１５，得ＡＢ·ＯＣ＝１５．

ＡＢ＝－＋２－（－２）＝４－，

ＯＣ＝|２－４|＝４－２，

∴（４－）（４－２）＝１５，

化簡整理得＝０，

解得＝７（舍去）或＝－１．

此時拋物線解析式為＝，

其對稱軸為＝，Ｃ點坐標為（０，－６），

它關于＝的對稱點Ｄ坐標為（１，－６）；………………………………１４分

當－２＞－＋２，由Ａ點在Ｂ點左邊，

知Ａ點坐標為（－＋２，０），Ｂ為（－２，０）．

即1＝－＋２， 2＝－２．

但此時| 1|＞| 2|，這與已知條件| 1|＜| 2|不相符，

∴不存在此種情況．

故第四個交點的坐標為（１，－６）．

（如圖６）

（１）把＝２代入拋物線，通過配方可求得此拋物線的頂點坐標

（2）令y=0，解方程＋＋－4，即可求出拋物線與x軸兩交點的橫坐標，定點為與k值無關的點；

（3）過A、B、C三點的圓與拋物線有第四個交點D，根據A、B、C三點坐標，討論k的范圍，表示△ABC的面積，列方程求k，再根據對稱性求D點坐標