Question

黃巖島是我國南海上的一個島嶼，其平面圖如圖甲所示，小明據此構造出該島的一個數學模型如圖乙所示，其中∠B=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=千米，請據此解答如下問題：

（1）求該島的周長和面積；（結果保留整數，參考數據≈1.414，≈1.73，≈2.45）
（2）求∠ACD的余弦值．

Answer 1

解：（1）連接AC
∵AB=BC=15千米，∠B=90°
∴∠BAC=∠ACB=45° AC=15
又∵∠D=90°
∴AD===12 （千米）
∴周長=AB+BC+CD+DA=30+3+12=30+4.242+20.784≈55（千米）
面積=S_△ABC+S_△ADC=112.5+18≈157（平方千米）

（2）cos∠ACD===…
分析：（1）連接AC，根據AB=BC=15千米，∠B=90°得到∠BAC=∠ACB=45° AC=15，再根據∠D=90°利用勾股定理求得AD的長后即可求周長和面積；
（2）直接利用余弦的定義求解即可．
點評：本題考查了解直角三角形的應用，與時事相結合提高了同學們解題的興趣，解題的關鍵是從實際問題中整理出直角三角形并求解．