Question

【題目】如果一個正整數m能寫成m＝a2﹣b2（a、b均為正整數，且a≠b），我們稱這個數為“平方差數”，則a、b為m的一個平方差分解，規定：F（m）＝．

例如：8＝8×1＝4×2，由8＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或．因為a、b為正整數，解得，所以F（8）＝．又例如：48＝132﹣112＝82﹣42＝72﹣12，所以F（48）＝或或．

（1）判斷：6　 　平方差數（填“是“或“不是“），并求F（45）的值；

（2）若s是一個三位數，t是一個兩位數，s＝100x+5，t＝10y+x（1≤x≤4，1≤y≤9，x、y是整數），且滿足s+t是11的倍數，求F（t）的最大值．

Answer 1

【答案】（1）不是；F（45）＝或或；（2）．

【解析】

（1）根據題目的例子的形式，對所給的數進行分解，若算出來的a，b均為正整數，則這個數是平方差數．
（2）根據s+t為11的倍數，再根據s+t的取值范圍就可以知道s+t的值．從而算出t的值．

解：（1）根據題意，6＝2×3＝1×6，由6＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）可得，或，因為a，b為正整數，則可判斷出6不是平方差數．

故答案為：不是．

根據題意，45＝3×15＝5×9＝1×45，由45＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或或．

∵a和b都為正整數，解得或或，

∴F（45）＝或或 ．

（2）根據題意，s＝100x+5，t＝10y+x，

∴s+t＝100x+10y+x+5

∵1≤x≤4，1≤y≤9，x、y是整數

∴100≤100x≤400，10≤10≤90，6≤x+5≤9

∴116≤s+t≤499

∵s+t為11的倍數

∴s+t最小為11的11倍，最大為11的45倍

∵100x末位為0，10y末位為0，x+5末位為6到9之間的任意一個整數

∴s+t為一個末位是6到9之間的任意一個整數

①當x＝1時，x+5＝6

∴11×16＝176，此時x＝1，y＝7

∴t＝71

根據題意，71＝71×1，由71＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得 ，

解得，∴F（t）＝

②當x＝2時，x+5＝7

∴11×27＝297，此時x＝2，y＝9

∴t＝92

根據題意，92＝92×1＝46×2＝23×4，由92＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得 或或

解得，

∴F（t）＝

③當x＝3時，x+5＝8

∴11×38＝418，此時x＝3，y沒有符合題意的值

∴11×28＝308，此時x＝3，y沒有符合題意的值

④當x＝4時，x+5＝9

∴11×39＝429，此時x＝4，y＝2

∴t＝24

根據題意，24＝24×1＝12×2＝8×3＝6×4，由24＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），可得或或或

解得或，∴F（t）＝或

11×49＝539不符合題意

綜上，F（t）＝或F（t）＝或F（t）＝或F（t）＝

∴F（t）的最大值為．