Question

閱讀材料：如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點，點P到兩腰的距離分別為r₁，r₂，腰上的高為h，連接AP，則S_△ABP+S_△ACP=S_△ABC，即：AB•r₁+AC•r₂=AB•h，∴r₁+r₂=h
（1）理解與應用
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點”放寬為“在　　三角形內任一點”，即：已知邊長為2的等邊△ABC內任意一點P到各邊的距離分別為r₁，r₂，r₃，試證明：．
（2）類比與推理
邊長為2的正方形內任意一點到各邊的距離的和等于______；
（3）拓展與延伸
若邊長為2的正n邊形A₁A₂…An內部任意一點P到各邊的距離為r₁，r₂，…r_n，請問r₁+r₂+…r_n是否為定值（用含n的式子表示），如果是，請合理猜測出這個定值．

Answer 1

解：（1）分別連接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
∴∠ADB=90°，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
∴AD=
∵S_△ABP+S_△BCP+S_△ACP=S_△ABC．
∴AB•r₁+BC•r₂+AC•r₃=BC×AD，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=AD．
∴r₁+r₂+r₃=

（2）如圖2，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．
∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
∴四邊形PEBF是矩形，四邊形PFCG是矩形，四邊形PGDH是矩形，四邊形PHAE是矩形，
∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，
∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．
故答案為4．

（3）設正n邊形的邊心距為r，且正n邊形的邊長為2，
∴S_正n邊形=．r=，
∵S_正n邊形=×2×r₁+×2×r₂+×2×r₁+…+×2×r_n，
∴×2×r₁+×2×r₂+×2×r₁+…+×2×r_n=×n，
∴r₁+r₂+…+r_n=nr=（為定值）．

分析：（1）由條件可以求出邊長為2的等邊三角形的高為，連接PA，PB，PC，仿照面積的割補法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而這幾個三角形的底相等，故化簡后可得出高的關系．
（2）如圖正方形過正方形內的任一點P向四邊做垂線就可以求出到正方形四邊的距離和為正方形邊長的2倍，從而得出結論．
（3）問題轉化為正n邊形時，根據正n邊形計算面積的方法，從中心向各頂點連線，可得出n個全等的等腰三角形，用邊長2為底，邊心距為高，可求正n邊形的面積，然后由P點向正n多邊形，又可把正n邊形分割成n個三角形，以邊長為底，以r₁、r₂、…、r_n為高表示面積，列出面積的等式，可求證r₁+r₂+…+r_n為定值．
點評：本題主要考查了等腰三角形的性質，等邊三角形的性質，正方形的性質及利用面積分割法，求線段之間的關系，充分體現了面積法解題的作用．