Question

【題目】如圖，在扇形AOB中，OA、OB是半徑，且OA＝4，∠AOB＝120°．點P是弧AB上的一個動點，連接AP、BP，分別作OC⊥PA，OD⊥PB，垂足分別為C、D，連接CD．

（1）如圖①，在點P的移動過程中，線段CD的長是否會發生變化？若不發生變化，請求出線段CD的長；若會發生變化，請說明理由；

（2）如圖②，若點M、N為的三等分點，點I為△DOC的外心．當點P從點M運動到N點時，點I所經過的路徑長為__________．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析:(1)先連接AB,因為CD是△PAB的中位線,所以CD=因為AB長度不變,即CD長度不變,根據OA＝4,∠AOB＝120°,利用解直角三角形的方法求出AB,再根據中位線的性質即可求出CD,

(2)因為CD是△PAB的中位線,根據中位線的性質CD∥AB,因為點I是△DOC的外心,所以點I在CD的垂直平分線上,然后求出點I運動路線是以O為圓心,OI為半徑,圓心角60°所對的弧長,利用弧長公式求解.

試題解析:∵OA＝OB,OH⊥AB,

∴AH＝BH＝AB,∠AOH＝∠AOB＝60°,

在Rt△AOH中,

∵∠OAH＝30°,

∴OH＝＝2,

∴在Rt△AOH,由勾股定理得AH＝＝,

∴AB＝,

∴CD＝,

（2）.