Question

小明數學成績優秀，他平時善于總結，并把總結出的結果靈活運用到做題中是他成功的經驗之一，例如，總結出“依次連接任意一個四邊形各邊中點所得四邊形（即原四邊形的中點四邊形）一定是平行四邊形”后，他想到曾經做過的這樣一道題：如圖1，點P是線段AB的中點，分別以AP和BP為邊在線段AB的同側作等邊三角形APC和等邊三角形BPD，連接AD和BC，他想到了四邊形ABDC的中點四邊形一定是菱形．于是，他又進一步探究：
如圖2，若P是線段AB上任一點，在AB的同側作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，設點E，F，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點，順次連接E，F，G，H．請你接著往下解決三個問題：
（1）猜想四邊形ABCD的中點四邊形EFGH的形狀，直接回答

 

，不必說明理由；
（2）當點P在線段AB的上方時，如圖3，在△APB的外部作△APC和△BPD，其它條件不變，（1）中結論還成立嗎？說明理由；
（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其它條件不變，先補全圖4，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）菱形；（2）連接AD、BC，由∠APC=∠BPD推出∠APD=∠CPB，證出∠APD=∠BPC，推出△APD≌△CPB（SAS），根據全等三角形的性質得到AD=BC，根據三角形的中位線定理，進一步推出EF=FG=GH=EH，即可得出結論；（3）判斷四邊EFGH是正方形，理由是連接AD、BC，由（2）全等推出∠PAD=∠PCB，由∠PAD+∠1=90°和∠1=∠2，推出∠PCB+∠2=90°，得出∠3=90°，根據三角形的中位線定理推出GH∥BC，EH∥AD，即可得出∠EHG=90°，即可推出結論．

解答：解：（1）四邊形EFG是菱形，
故答案為：菱形．

（2）答：成立，
理由：連接AD、BC，∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，
∴∠APD=∠CPB，
∵PA=PC，PD=PB，
∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD，
即∠APD=∠BPC，
∴△APD≌△CPB（SAS），
∴AD=CB，
∵E、F、G、H分別是AC、AB、BD、CD的中點，
∴EF、FG、GH、EH分別△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位線，
∴EF=

1

2

BC、FG=

1

2

AD、GH=

1

2

BC、EH=

1

2

AD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四邊形EFGH是菱形．

（3）如圖：
判斷四邊EFGH是正方形，
理由：連接AD、BC，
∵（2）中已證△APD≌△CPB，
∴∠PAD=∠PCB，
∵∠APC=90°，
∴∠PAD+∠1=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠PCB+∠2=90°，
∴∠3=90°，
∵（2）中已證GH、EH分別是△BCD、△ACD的中位線，
∴GH∥BC，EH∥AD，
∴∠EHG=90°，
∵（2）中已證四邊EFGH是菱形，
∴菱形EFGH是正方形．

點評：本題主要考查對三角形的內角和定理，三角形的中位線定理，全等三角形的性質和判定，菱形的判定，正方形的判定等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行證明是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．