Question

如圖，點P是反比例函數（x＞0）的圖象上的一個動點，PA⊥x軸于點A，延長AP至點B，使PB=PA，過點B作BC⊥y軸于點C，交反比例函數圖象于點D．
（1）填空：S_△AOP______S_△COD（填“＞“＜”或“=”）
（2）當點P的位置改變時，四邊形PODB的面積是否改變？說明理由．
（3）連接OB，交反比例函數（x＞0）的圖象于點E，試求的值．

Answer 1

解：（1）依題意設P（m，），則B（m，），D（，），
故S_△AOP=m×=1，S_△COD=××=1，
即S_△AOP=S_△COD，
故答案為：=；

（2）不改變．
理由：∵S_{四邊形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD=m×-1-1=2，
∴當點P的位置改變時，四邊形PODB的面積總是2，不改變；

（3）設直線OB解析式為y=kx，將B（m，）代入，得k=，
可知直線OB解析式為y=x，
聯立，得，即E（，），
故==．
分析：（1）根據P、D兩點在反比例函數（x＞0）的圖象上，且PB=PA，設P（m，），則B（m，），D（，），由此可求S_△AOP，S_△COD，比較大小；
（2）由S_{四邊形PODB}=S_矩形OABC-S_△AOP-S_△COD，計算結果并判斷；
（3）根據B點坐標求直線OB的解析式，聯立直線OB的解析式與雙曲線解析式，求E點坐標，則由相似三角形的性質可知=．
點評：本題考查了反比例函數的綜合運用．關鍵是根據反比例函數解析式，矩形的性質設點的坐標，用點的坐標表示線段長度，再計算面積及線段比．