Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)E，點(diǎn)K為弧AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（K不與A，C重合），AK，DC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接CK．

（1）求證：△ADF∽△CKF

（2）若AB=10，CD=6，求tan∠CKF的值

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）3

【解析】

（1）證明∠1=∠D，又∠F=∠F，可說(shuō)明△ADF∽△CKF；
（2）連接OD，利用垂徑定理即勾股定理求出OE長(zhǎng)，則AE可知，在Rt△ADE中，tan∠ADE值可求，又∠CKF=∠ADE，所以tan∠CKF可求．

（1）∵四邊形ADCK內(nèi)接于⊙O，

∴∠D+∠2=180°．
∵∠1+∠2=180°，
∴∠1=∠D．
又∠F=∠F，
∴△ADF∽△CKF；
（2）連接OD，

∵AB=10，
∴AO=DO=5．
∵直徑AB⊥CD，CD=6，
∴DE=CD=3．
在Rt△ODE中，利用勾股定理可得

，

∴AE=OA+OE=9．
在Rt△ADE中，，

∴，

∵∠CKF=∠ADE，
∴tan∠CKF=3．