Question

【題目】△ABC為等邊三角形，邊長為a，DF⊥AB．EF⊥AC

（1）求證：△BDF∽△CEF；

（2）若a=4，設BF=m，四邊形ADFE面積為S，求出S與m之間的函數關系式，并探究當m為何值時S取最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）最大值為3．

【解析】

試題分析：（1）由等邊三角形的性質得出∠B=∠C=60°，由已知得出∠BDF=∠CEF=90°，即可證出△BDF∽△CEF；

（2）作AM⊥BC于M，由等邊三角形的性質得出AB=BC=4，BM=CM=BC=2，由勾股定理求出AM，得出△ABC的面積；求出∠DFB=∠EFC=30°，由含30°角的直角三角形的性質得出BD=BF=m，CE=CF=（4-m），得出DF、EF的長度，求出△BDF和△CEF的面積，由四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積，得出S與m之間的函數關系式為S=-m2+m+2；化成頂點式，得出當m=2時，S取最大值為3即可．

試題解析：（1）∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠C=60°，

∵DF⊥AB．EF⊥AC，

∴∠BDF=∠CEF=90°，

∴△BDF∽△CEF；

（2）作AM⊥BC于M，如圖所示：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC=4，BM=CM=BC=2，

∴AM===2，

∴△ABC的面積=BCAM=×4×2=4，

∵BF=m，

∴CF=4-m，

∵∠BDF=∠CEF=90°，∠B=∠C=60°，

∴∠DFB=∠EFC=30°，

∴BD=BF=m，CE=CF=（4-m），

∴DF=BD=m，EF=CE=（4-m），

∴△BDF的面積=BDDF=×m×m=m2，

△CEF的面積=CEEF=×（4-m）×（4-m）=（4-m）2，

∴四邊形ADFE面積S=△ABC的面積-△BDF的面積-△CEF的面積=4-m2-（4-m）2=-m2+m+2，

即S與m之間的函數關系式為S=-m2+m+2；

又∵S=-m2+m+2=-（m-2）2+3，-＜0，

∴當m=2時，S取最大值為3．