Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，D為AB的中點，將一直角△DEF紙片平放在△ACB所在的平面上，且使直角頂點重合于點D（C始終在△DEF內部），設紙片的兩直角邊分別與AC、BC相交于M、N．
（1）如圖1，當∠A=∠NDB=45°，則CN+CM等于

2

2

；
（2）探索，如圖2，當∠A=45°，∠NDB≠45°時，則CN+CM的值是否與（1）相同？說明理由．

Answer 1

分析：（1）連CD，由于∠ACB=90°，∠A=45°，可得到△ABC是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得AC=

2

2

AB=2

2

，而D點為斜邊的中點，根據等腰直角三角形斜邊上的中線性質得CD=DA，∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，∠CDA=90°，利用等角的余角相等得到∠ADM=∠CDN，根據三角形全等的判定方法可證得△ADM≌△CDN，則AM=CN，于是CM+CN=CM+AM=AC=2

2

；
（2）與（1）的解法一樣可得到CN+CM的值仍然是2

2

．

解答：解：（1）連CD，如圖，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AB=2

2

，
而D點為斜邊的中點，
∴CD=DA，∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，∠CDA=90°
∵∠MDN=90°，
∴∠CDA-∠CDM=∠MDN-∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，

∠A=∠DCN AD=CD ∠ADM=∠CDN

，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴CM+CN=CM+AM=AC=2

2

．

（2）CN+CM的值仍然等于2

2

．理由如下：
連CD，如圖2，
∵∠ACB=90°，∠A=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=

2

2

AB=2

2

，
而D點為斜邊的中點，
∴CD=DA，∠DCB=

1

2

∠ACB=45°，∠CDA=90°
∵∠MDN=90°，
∴∠CDA-∠CDM=∠MDN-∠CDM，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，

∠A=∠DCN AD=CD ∠ADM=∠CDN

，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，
∴CM+CN=CM+AM=AC=2

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質：有兩組角對應相等，且它們所夾的邊也相等的兩個三角形全等；全等三角形的對應邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質．