Question

（2008•攀枝花）已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為1，一次函數(shù)y=kx+2的圖象與二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且A點(diǎn)在y軸上，以C為圓心，CA為半徑的⊙C與x軸相切，
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）若B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，過拋物線頂點(diǎn)且平行于x軸的直線為l，判斷以AB為直徑的圓與直線l的位置關(guān)系；
（3）在滿足（2）的條件下，把二次函數(shù)的圖象向右平移7個(gè)單位，向下平移t個(gè)單位（t＞2）的圖象與x軸交于E、F兩點(diǎn)，當(dāng)t為何值時(shí)，過B、E、F三點(diǎn)的圓的面積最小？

Answer 1

分析：（1）由于點(diǎn)A在y軸上，根據(jù)一次函數(shù)的解析式（主要注意常數(shù)項(xiàng)）即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，所以要求出二次函數(shù)的解析式，還必須知道頂點(diǎn)C的具體坐標(biāo)；已知以C為半徑的圓與⊙C相切，那么點(diǎn)C必在x軸的上方，且點(diǎn)C到x軸的距離（即C點(diǎn)的縱坐標(biāo)值）與CA的長(zhǎng)相同，可據(jù)此確定出點(diǎn)C的坐標(biāo)；然后先將二次函數(shù)的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再代入點(diǎn)A的坐標(biāo)后可得解．
（2）已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)，代入（1）的二次函數(shù)解析式中可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)，以AB為直徑的圓的圓心必為線段AB的中點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)已知，則圓心坐標(biāo)可求，判定圓心到直線l的距離是否與AB長(zhǎng)的一半相等即可．
（3）首先根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律得出平移后的函數(shù)解析式，令函數(shù)值為0后可得到點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含t的式子表達(dá)）；題目要求的是過B、E、F三點(diǎn)的圓的面積最小，那么這個(gè)圓的半徑應(yīng)該最小，可根據(jù)這個(gè)思路來解題；設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，那么PB=PE=PF=r_P，所以點(diǎn)P必在線段EF的中垂線上，如果半徑r_P最短，那么PB的長(zhǎng)最短，通過圖示我們可以看出，當(dāng)BP垂直于EF的中垂線時(shí)（即BP為點(diǎn)B到EF中垂線的垂線段），BP的長(zhǎng)最短，可據(jù)此確定圓心P的坐標(biāo)，然后由PE=BP列方程求得t的值．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+2的圖象與二次函數(shù)的圖象交于y軸的A點(diǎn)，
∴A（0，2）；
∵以CA為半徑的⊙C與x軸相切，
∴點(diǎn)C在x軸上方，可設(shè)C（1，y），則有：
y²=（1-0）²+（y-2）²，解得 y=

5

4

即：頂點(diǎn)C（1，

5

4

）；
設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-1）²+

5

4

，代入A（0，2），有：
a（0-1）²+

5

4

=2，解得 a=

3

4

∴二次函數(shù)的解析式：y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

x²-

3

2

x+2．

（2）當(dāng)x=3時(shí)，y=

3

4

（x-1）²+

5

4

=

3

4

×4+

5

4

=

17

4

，即 B（3，

17

4

）；
由（1）知，A（0，2），所以 AB的中點(diǎn)（

3

2

，

25

8

），AB=

(3-0)2+( 17 4 -2)2

=

15

4

；
過點(diǎn)C且平行于x軸的直線l：y=

5

4

，所以以AB為直徑的圓心到直線l的距離為：

25

8

-

5

4

=

15

8

=

1

2

AB；
因此以AB為直徑的圓與直線l相切．

（3）二次函數(shù)平移后的解析式為y=

3

4

（x-8）²+

5

4

-t，
令y=0，即

3

4

（x-8）²+

5

4

-t=0，解得：x=8±

3

3

4t-5

；
假設(shè)E（8-

3

3

4t-5

，0）、F（8+

3

3

4t-5

，0），EF的中垂線為x=8；
過B、E、F三點(diǎn)的圓心在x=8上，若過B、E、F三點(diǎn)的圓的面積最小，只需點(diǎn)B到直線x=8的距離最小，即最小值為5；
過B作直線x=8的垂線，垂足P即為圓心，半徑r=5；
則PE=5，EF=

2 3

3

4t-5

，ES=

1

2

EF=

3

3

4t-5

；
由PS²+ES²=PE²，得：（

17

4

）²+

1

3

（4t-5）=5²，
解得：t=

413

64

；
即：當(dāng)t=

413

64

時(shí)，過B、E、F三點(diǎn)的圓的面積最小．

點(diǎn)評(píng)：此題是圓與函數(shù)的綜合題，主要涉及了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、直線與圓的位置關(guān)系、三角形的外接圓等重要知識(shí)點(diǎn)；題目的難點(diǎn)在于最后一題，將三角形外接圓的面積最小問題轉(zhuǎn)化為半徑長(zhǎng)的問題是突破此題的關(guān)鍵所在．