Question

如圖，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=

4

5

，D是AC上一個動點（不運動至點A，C），過D作DE∥BC，交AB于E，過D作DF⊥BC，垂足為F，連接BD，設CD=x．
（1）用含x的代數式分別表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面積為S，求S關于x的函數關系式；
（3）如果△BDF的面積為S₁，△BDE的面積為S₂，那么x為何值時，S₁=2S₂．

Answer 1

分析：（1）可在直角三角形CFD中，根據CD的長，和∠C的正弦函數表示出DF，而BF的值可以先在直角三角形CFD中，用CD和∠C的余弦函數表示出CF，然后根據BC-CF表示出BF的長；
（2）本題中（1）已經表示出了BF，DF的長，那么關鍵是DE的長，可通過DE∥BC，根據平行線分線段成比例定理，得出關于AD，AC，DE，BC的比例關系式，然后根據BC的長，用CD表即x表示出DE，然后根據梯形的面積公式即可得出關于S與x的函數關系式；
（3）三角形BDF中BF，DF已經在（1）中得出，梯形的面積也在（2）中得出，可根據題中給出的他們的比例關系，得出關于x的方程，然后通過解方程即可得出x的值．

解答：解：（1）在Rt△CDF中，sinC=

4

5

，CD=x
∴DF=CD•sinC=

4

5

x，CF=

CD2-DF2

=

3

5

x
∴BF=18-

3

5

x；

（2）∵ED∥BC，
∴

ED

BC

=

AD

AC

．
∴ED=

BC•AD

AC

=

18×(15-x)

15

=18-

6

5

x．
∴S=

1

2

×DF×（ED+BF）
=

1

2

×

4

5

x×（18-

6

5

x+18-

3

5

x）=-

18

25

x²+

72

5

x；

（3）由S₁=2S₂，得S₁=

2

3

S，
∴

1

2

（18-

3

5

x）•

4

5

x=

2

3

（-

18

25

x²+

72

5

x），
解得：x=10
所以，當x=10時，S₁=2S₂．

點評：本題主要考查了解直角三角形的應用等知識點，根據三角形函數或平行得出的線段的比例關系來表示出相關的線段的長是解題的關鍵．