Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，過點A作AE⊥CD于點E，交對角線BD于點F，過點F作FG⊥AD于點G．

（1）若AB＝2，求四邊形ABFG的面積；

（2）求證：BF＝AE+FG．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據菱形的性質和垂線的性質可得∠ABD＝30°，∠DAE＝30°，然后再利用三角函數及勾股定理在Rt△ABF中，求得AF，在Rt△AFG中，求得FG和AG，再運用三角形的面積公式求得四邊形ABFG的面積；

（2）設菱形的邊長為a，根據（1）中的結論在Rt△ABF、Rt△AFG、Rt△ADE 中分別求得BF、FG、AE，然后即可得到結論.

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB∥CD，BD平分∠ABC，

又∵AE⊥CD，∠ABC=60°，

∴∠BAE＝∠DEA＝90°，∠ABD＝30°，

∴∠DAE＝30°，

在Rt△ABF中，tan30°＝，即，解得AF＝，

∵FG⊥AD，

∴∠AGF=90°，

在Rt△AFG中，FG＝AF＝，

∴AG=＝1．

所以四邊形ABFG的面積=S△ABF+S△AGF＝；

（2）設菱形的邊長為a，則在Rt△ABF中，BF＝，AF＝，

在Rt△AFG中，FG＝AF＝，

在Rt△ADE中，AE＝，

∴AE+FG＝，

∴BF＝AE+FG．