Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，過A(－2, 0), C(0, 6)兩點的拋物線y＝－x2＋ax＋b與x軸交于另一點B，點D是拋物線的頂點．

（1）求a、b的值；

（2）點P是x軸上的一個動點，過P作直線l//AC交拋物線于點Q．隨著點P的運動，若以A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；

(3)在直線AC上是否存在一點M，使△BDM的周長最小，若存在，請找出點M并求出點M的坐標．若不存在，請說明理由。

備用圖

Answer 1

【答案】（1）a=2，b=6；

（2）Q(4,6)，Q或；

（3）存在一點M，使△BDM的周長最小

【解析】試題分析：（1）把點A，C的坐標代入到解析式中，用待定系數法則可以求出a，b的值；

（2）設點P（t，0），由于平行四邊形頂點的位置不確定，所以需要分類討論，運用平移的性質，用含t的式子表示出點Q的坐標，把點Q的坐標代入到二次函數的解析式中，求出t，則可以得到點Q的坐標.

（3）作點B關于直線AC的對稱點B′，連接BB′，交AC于點M，則點M就是所要求的點.過點B′作B′E⊥x軸，利用相似三角形得到B′的坐標，以B′D為直角的斜邊構造直角三角形，則可得到M的坐標.

試題解析：(1)根據題意得，把A（-2，0）代入得a=2.所以a=2，b=6.

（2）設P（t,0）,由（1）得，A（-2，0），C（0，6）.根據平移的性質得：

①， ，則Q（t+2，6），代入，解得， ， （舍），所以Q（4，6）.

②， ，則Q（t-2，-6），代入，解得， ， ，所以Q（，-6）或（，-6）.

③， ，則Q（-t-2，6），代入，解得， （舍）.

綜上所述，Q(4,6)，Q（，-6）或（，-6）.

（3）設點B關于直線AC的對稱點為B′，連結BB′交AC于F．

連結B′D，B′D與AC的交點就是要求的點M．

作B′E⊥x軸于E，那么△BB′E∽△BAF∽△CAO．∵AO=2，CO=6，∴AC=B(6，0)，D(2，8).

在Rt△BAF中，

在Rt△BB′E中，

.

因為點M在直線y＝3x＋6上，設點M的坐標為(x, 3x＋6)．

由，得

.

圖2 圖3