Question

【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,AC為弦,∠BAC的平分線交⊙O于點D,過點D的切線交AC的延長線于點G.

求證：（1）DG⊥AG;

（2）AG+CG=AB.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

（1）連接OD，根據等腰三角形的性質結合角平分線的性質可得出∠CAD=∠ODA，利用“內錯角相等，兩直線平行”可得出AE∥OD，結合切線的性質即可證出DG⊥AG；

（2）過點D作DM⊥AB于點M，連接CD、DB，根據角平分線的性質可得出DG=DM，

結合AD=AD、∠AGD=∠AMD=90°即可證出△DAG≌△DAM（SAS），根據全等三角形的性質可得出AG=AM，由∠GAD=∠MAD可得出= ，進而可得出CD=BD，結合DG=DM可證出Rt△DGC≌Rt△DMB（HL），根據全等三角形的性質可得出CG=BM，結合AB=AM+BM即可證出AG+CG=AB．

（1）連接OD，

OA=OD,

∠OAD=∠ODA,

DA平分∠BAC,

則∠OAD=∠CAD，

∠CAD=∠ODA，

AE∥OD，

DG是⊙O的切線，則

DG⊥AG；

（2）過點D作DM⊥AB于點M，連接CD、DB，

DA平分∠BAC,

DG=DM，

結合AD=AD、∠AGD=∠AMD=90°,

△DAG≌△DAM（SAS），

AE=AM，

由∠GAD=∠MAD,

= ，

CD=BD，結合DG=DM可證出Rt△DGC≌Rt△DMB（HL），

CG=BM，

AB=AM+BM,

AG+CG=AB．