Question

如圖，直線l₁與l₂相交于點A，點B、C分別在直線l₁與l₂上，且BC⊥l₂，垂足為C點．點D在直線l₂上，AC=4，BC=3．
（1）畫出⊙O，使⊙O經過點B且與直線l₂相切于點D（不寫畫法，保留畫圖痕跡）；
（2）是否存在這樣的⊙O₁，既與直線l₂相切又與直線l₁相切于點B？若存在，求出⊙O₁的半徑；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）作BD的垂直平分線與過點D作直線l₂的垂線，交點即為圓心，繼而可畫出⊙O；
（2）設⊙O₁切直線l₂于點E，連接O₁B，O₁E，過點O₁作O₁F⊥BC于點F，易證得四邊形ECFO₁是矩形，△BO₁F∽△ABC，然后根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）如圖1：①連接BD，作BD的垂直平分線MN，
②過點D作直線l₂的垂線，交直線MN于點O，
③以點O為圓心，OD長為半徑作圓，
則⊙O即為所求的圓；

（2）存在．
如圖2：設⊙O₁切直線l₂于點E，連接O₁B，O₁E，過點O₁作O₁F⊥BC于點F，
∵BC⊥l₂，
∴∠O₁EC=∠ECF=∠O₁FD=90°，∠O₁BA=90°，
∴四邊形ECFO₁是矩形，
∴FC=O₁E，
∵∠BAC+∠ABC=90°，∠O₁BF+∠ABC=90°，
∴∠BAC=∠O₁BF，
∵∠O₁FB=∠ACB=90°，
∴△BO₁F∽△ABC，
∴

BF

AC

=

O1B

AB

，
設⊙O₁的半徑為x，
∵AC=4，BC=3，
∴BF=BC-CF=3-x，
在Rt△ABC中，AB=

AC2+BC2

=5，
∴

3-x

4

=

x

5

，
解得：x=

5

3

，
∴⊙O₁的半徑為

5

3

．

點評：此題考查了切線的性質、相似三角形的判定與性質以及勾股定理等知識．此題難度較大，注意掌握方程思想與數形結合思想的應用．