Question

  已知：如圖，在直角坐標系xoy中，點A（2，0），點B在第一象限且△OAB為正三角形，△OAB的外接圓交y軸的正半軸于點C，過點C的圓的切線交x軸于點D．

1.（1）求B、C兩點的坐標；

2.（2）求直線CD的函數解析式；

3.（3）設E、F分別是線段AB、AD上的兩個動點，且EF平分四邊形ABCD的周長．

試探究：當點E運動到什么位置時，△AEF的面積最大？最大面積是多少？

 

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：（1）∵A（2，0），

∴OA=2．

作BG⊥OA于G，

∵△OAB為正三角形，∴OG=1，BG=，

∴B（1，）． ………………………………1分

連AC，∵∠AOC=90°，∠ACO=∠ABO=60°．

，∴OC=．  

∴C（0，）． …………………………………2分

 

2.（2）∵∠AOC=90°，∴AC是圓的直徑，

又∵CD是圓的切線，∴CD⊥AC．

∴∠OCD=30°，OD=．∴D（，0）．

設直線CD的函數解析式為y=kx+b（k≠0），

則，解得 

∴直線CD的解析式為y=．…4分

 

3.（3）∵AB=OA=2，OD=，CD=2OD=，BC=OC=，

∴四邊形ABCD的周長6+．

設AE=t，△AEF的面積為S，

則AF=3+－t，S=（3+）．

∵S=（3+）=．

∵點E、F分別在線段AB、AD上，

∴    ∴…………………………6分

∴當t=時，S_最大=．…………8分

 

 

【解析】略