Question

兩圓半徑之比為2：3，小圓外切正六邊形與大圓內接正六邊形面積之比為（　�。�

• A．2：3
• B．4：9
• C．16：27
• D．4：3

  3

Answer 1

分析：先畫出圖形，設⊙I的半徑為2x，⊙O的半徑為3x，作IH⊥MN于H，連結IM、IN、OA、OB，根據正六邊形的性質得到∠MIN=60°，則∠MIH=30°，再根據含30度的直角三角形三邊的關系得到MH=

3

3

IH=

2 3

3

x，所以MN=

4 3

3

x，于是可計算出正六邊形MNPQKL的面積=8

3

x²，然后根據等邊三角形的面積公式可計算出正六邊形ABCDEF的面積=

27 3

2

x²，
再計算它們的比值即可．

解答：解：如圖，設⊙I的半徑為2x，⊙O的半徑為3x，
作IH⊥MN于H，連結IM、IN、OA、OB，
∴MH=NH，
∵∠MIN=60°，
∴∠MIH=30°，
∴MH=

3

3

IH=

2 3

3

x，
∴MN=

4 3

3

x，
∴正六邊形MNPQKL的面積=6•

1

2

•

4 3

3

x•2x=8

3

x²，
∵∠AOB=60°，
∴S_△OAB=

3

4

•（3x）²=

9 3

4

x²，
∴正六邊形ABCDEF的面積=6•

9 3

4

x²=

27 3

2

x²，
∴正六邊形MNPQKL的面積：正六邊形ABCDEF的面積=8

3

x²：

27 3

2

x²=16：27．
故選C．

點評：本題考查了正多邊形與圓：把一個圓分成n（n是大于2的自然數）等份，依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形，這個圓叫做這個正多邊形的外接圓．掌握正多邊形的有關概念．