Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，Rt△OAB的直角頂點A在x軸的正半軸上，若頂點B的縱坐標為2，∠B＝60°，OC＝AC．

（1）請寫出A、B、C三點的坐標；

（2）點P是斜邊OB上的一個動點，則△PAC的周長的最小值為多少？

（3）若點P是OB的中點，點E在AO邊上，將△OPE沿PE翻折，使得點O落在O'處，當O'E⊥AC時，在坐標平面內是否存在一點Q，使得△BAQ≌△O′PE，若存在，請直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點A（6，0）,點B（6，2 ），點C（2，0）；（2）△PAC周長的最小值為2+4．（3）當點Q在AB右側，點Q（，），當點Q在AB左側，點Q（，）

【解析】

（1）由直角三角形的性質可得OA=6，即可求點A、點B、點C坐標；

（2）作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根據勾股定理求出CD，即可得出答案；

（3）由折疊的性質可得∠OEM=∠OE'M=45°，△OEP≌△O'EP，分兩種情況討論，由直角三角形的性質可求解．

（1）∵AB⊥OA，∠B＝60°，AB＝2，

∴OA＝AB＝6，

∴點B（6，2），點A（6，0）

∵OC＝AC，

∴OC＝2，AC＝4，

∴點C（2，0）；

（2）如圖1，作A關于OB的對稱點D，連接CD交OB于P，連接AP，過D作DN⊥OA于N，則此時PA+PC的值最小，

∵DP＝PA，

∴PA+PC＝PD+PC＝CD，

∵AB＝2，OA＝6，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝4=4，

∴S△AOB=×OA×AB＝×OB×AM，

即×6×2＝×4×AM，

∴AM＝3，

∴AD＝2×3＝6，

∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，

∴∠BAM＝30°，

∵∠BAO＝90°，

∴∠OAM＝60°，

∵DN⊥OA，

∴∠NDA＝30°，

∴AN＝AD＝3＝ON，

在Rt△AND中，由勾股定理得：DN=＝3，

∴CN＝ON﹣OC＝3﹣2＝1，

在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC＝＝＝2，

即PA+PC的最小值是2，

∴△PAC周長的最小值為：2+4；

（3）如圖2，

∵點P是OB的中點，

∴OP＝2＝AB，

∵將△OPE沿PE翻折，且O'E⊥AC

∴∠OEM＝∠OE'M＝45°，△OEP≌△O'EP，

∴∠OPE＝∠OEM﹣∠AOB＝15°，

∵△BAQ≌△O′PE，

∴△BAQ≌△OPE，

∴∠ABQ＝30°，∠BAQ＝15°，

當點Q在AB右側，過點Q作QH⊥AB，作∠AQF＝∠BAQ＝15°，

∴∠HFQ＝30°，AF＝FQ，

設HQ＝a，

∵∠ABQ＝30°＝∠HFQ，HQ⊥AB，

∴FQ＝2a，BH＝HF＝a，

∴AF＝2a，

∴AB＝2a+2a＝2，

∴a＝，

∴AH＝，

∴點Q（，）

當點Q在AB左側，同理可求點Q（，）